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1、2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,1,1.广义变分原理及其应用,1.1 虚力原理与余能原理 1.2 泛函的变换格式 1.3 含可选参数的广义变分原理 1.4 基于Reissner原理的混合元 1.5 放松约束的变分原理及杂交元,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,2,1.1 虚力原理与余能原理,1.1.1 虚位移原理和势能原理（复习）,1） 虚位移原理的虚功方程矩阵表达,We=VFbTudV+ SFsTudS,=Wi=VTdV,体积力虚功,表面力虚功,虚变形功,We=VFbiuidV+ SFsiuidS,=Wi=VijijdV,虚功方程张量表达,2000.3,哈尔滨建筑大
2、学 王焕定教授制作,3,2） 势能原理的数学表达,Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS = min,总势能,应变能,外力势能,1.1.2 虚力原理,1）虚力原理的表述,给定位移状态协调的充分必要条件为：对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立（矩阵）,VTdV=Su(L)T u 0dS,虚反力功,表面给定位移,虚余变形功,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,4,虚功方程张量表达,VijijdV=Suijnjui0dS,2) 必要性证明,ij=1/2(ui ,j+uj ,i)=D-1ijklkl V：ij ,j =0 S ：ijnj=0,已知
3、条件 ：=ATu=D-1 V：=0 S：L=0,需证明的是：VijijdV=Suijnjui0dS,或张量表达形式已知条件：,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,5,V( Au)TdV= S(L)T u dS-V(A)T u dV,1/2V(ui ,j+uj ,i) ijdV= SijnjuidS-V ij ,juidV,证明：利用格林公式,或张量形式格林公式,考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得,VijijdV=Suijnjui0dS,必要性证毕。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,6,2) 充分性证明,V：ij ,j =0 S ：ijnj=0,已知条件 ：= D-1
4、,需证明的是：应变ij是协调的。,或张量表达形式 ij=D-1ijklkl,VijijdV=Suijnjui0dS,VTdV=Su(L)T u 0dS,V：A=0 S：L=0,证明 ：因为V：A=0，所以,对任意 V (A)T dV=0,利用格林公式和已知条件可得,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,7,设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应力满足A=0。又因为完全任意，因此可设,在此条件下，式(a)由于虚应力的任意、独立性可得 V: D -1-AT =0 Su： -u 0=0,充分性证毕。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,8,1.1.3 余能原理,和由虚位移原理导出
5、势能原理一样，由虚力原理,VTdV=Su(L)T u 0dS,可得,(1/2VT dV-Su(L )T u 0dS)=0,记VC如下所示，并称为变形体的总余能,VC=1/2VT dV-Su(L )T u 0dS,则由VC=0可得,在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。,余能原理,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,9,余能原理等价于协调，表达为,VC=1/2VijijdV-SuFsiu0idS = min,利用格林公式，立即可证明 Ve+ VC=0,1.2 泛函的变换格式（龙驭球提出）,简单来说，势能原理等价平
6、衡，表达为,Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS = min,1.2.1 一些预备知识,1) 变量的分类,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,10,除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函的增广变量。,在余能泛函 VC=1/2VijijdV-SuFsiu0idS 中ij 是泛函变量，其他是增广变量。,泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变量。,在势能泛函 Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS 中ui 是泛函变量，其他是增广变量。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,11,泛函中泛函变量事先所需
7、满足的条件，称为泛函的强制条件。,在余能泛函中ij 所需满足的平衡条件（内部和边界）即为强制条件。 VC=1/2VijijdV-SuFsiu0idS,2) 泛函所满足的条件,在势能泛函中ui 所满足的协调条件即为强制条件。 Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,12,在余能泛函中ij 所对应的应变应满足的协调条件为自然条件。,由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛函的自然条件。,在势能泛函中ui 所满足的平衡条件即为自然条件。,在泛函中，泛函变量与增广变量间，或增广变量之间所应满足的条件称为增广条件。,在势
8、能泛函中几何方程和物理方程即为增广条件。,3) 泛函间关系的分类,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,13,如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对应相同，称此两泛函为等价的。,两泛函所包含的全部变量、全部条件均相同，但是变量的区分不同，或变量的条件不同等，称此两泛函为广义等价。,如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则称这两泛函互等。,1.2.2 泛函的三种变换格式,1) 泛函的放松格式拉氏乘子法（传统）,基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,14,2) 增广格
9、式高阶拉氏乘子法（钱伟长）,教材上介绍了从余能原理得到海林格-赖斯纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。,基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。,请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的泛函是三变量的无条件泛函。,3) 等价格式龙驭球格式,基本思路是，用自然条件构造正定二次型，按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,15,请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的另一泛函也是三变量的无条件泛函。并证明当参数等于1时，将“退化”成
10、两变量的海林格-赖斯纳泛函（差一符号）。,学习的关键在真真掌握原理、方法等的基本思路，从而以便能灵活运用它。上述各种格式的思路就是如此简单，但不亲自做一做，经验证明真真掌握它是不可能的。,4) 换元乘子法（龙驭球）,将增广变量通过增广条件引入泛函，从而增广条件成为强制条件，再用拉氏乘子法放松强制条件，将增广变量引入无条件泛函的方法。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,16,1.3 含可选参数的广义变分原理,1.3.1 含可选参数的广义变分原理,1） 变分泛函的建立,从三变量无条件胡海昌-鹫津久一郎广义泛函出发，用等价格式龙驭球建立了教材上前12个正定二次型，我补充了后两个二次型，乘
11、14个参数构成和胡-鹫广义泛函等价的新泛函。龙驭球认为参数是可以任意选取的，因此称为含任意参数的广义变分原理。,我提出并得到龙先生认同，参数不能完全任意选取，必须满足教材图示的通路关系。,2) 参数选取问题,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,17,从而建立了含可选参数的广义变分原理。,最基本的是结构力学中介绍的虚功原理，它是一个必要性命题，要求力状态平衡，要求位移状态协调，满足此条件恒有虚功方程成立。,虚功原理中力状态是给定的一个，虚位移是任意的，条件的改变导致结论的改变，由此得到虚位移原理。在无限分割情况下，等价于平衡条件。它是一个充分必要性命题。,1.3.2 变分原理间的相互关
12、系,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,18,虚力原理也是虚功原理条件改变的结果，位移给定虚应力任意，无限分割时等价于协调条件。它也是充要条件。,由虚位移原理可导得势能原理，由虚力原理可导得余能原理（当然它们也可由定义来推导）。它们是一对对偶的原理。,从势能原理出发，用放松格式可得到无条件的势能原理，用换元乘子法可得到二变量广义余能原理、三变量的广义势能原理。,从余能原理出发，用放松格式可得无条件的广义余能原理，用换元乘子法可得到三变量的广义势能原理。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,19,从二变量的广义余能原理和三变量的广义势能原理出发，用格林公式可分别得到二变量的广
13、义势能原理和三变量广义余能原理。,从二变量的广义余能原理或二变量的广义势能原理出发，用等价格式可得到二变量含可选参数的广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化为无条件的势能原理。参数为零时恢复成二变量广义变分原理。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,20,从三量的广义余能原理或三变量的广义势能原理出发，用等价格式可得到三变量含可选参数的广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化为二变量的含可选参数广义变分原理。参数为零时恢复成三变量广义变分原理。,上述原理间的关系，可用教材上P. 196 图6-2来表示。,如果真的掌握了有限元所学习的内容，象从势能原理出发通过构造位移场那样，合适
14、地建立变分原理对应的场变量，即可用变分原理得到对应的有限元列式。下面简单介绍基于赖斯纳原理的混合元分析。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,21,1.4 基于Reissner原理的混合元,1.4.1 原理的使用选择,前面介绍了从余能原理获得了二变量广义余能原理如下：,用于单元时，考虑结点力作用后改为,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,22,由此原理出发，如有限元所述，进行有限元分析时要求构造的应力场跨单元协调、在单元应力边界上要求平衡，构造这样的变量场是困难的。为此，用格林公式作变换，得到二变量广义势能泛函如下：,用于单元时，考虑结点力作用可同样修改。当用此泛函作有限元
15、分析时，要求位移场跨单元(C0级)协调，由有限元可知，这是不难做到的。因此，一般用它分析。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,23,1.4.2 单元列式及说明,用上述原理作单元列式时，要建立两类变量场：位移场(u)和应力场()，位移场只要满足跨单元协调，并不要像位移元组装后需作约束条件处理，使满足位移边界条件。,设 (u)=(N)()e ()=()(P)e 代入赖斯纳原理并经数学推导后，可得教材 上(6.4-7)所示混合元性质方程。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,24,式(6.4-7)中的一些矩阵分别为,有了(6.4-7)混合元性质方程，作整体组装即可获得整体性质方程。但必须注意，整体性质矩阵是奇异的，求解时必须作必要的处理。,
