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1、第三章,3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,复习提问：,平面直角坐标系中,、,2、,提 问:,我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示.,那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?,下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.,(4,5,3),一、空间直角坐标系,从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系xyz,点叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yo
2、z平面、和 Zox平面,o,在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系,说明:,我们一般建立的坐标系 都是右手直角坐标系.,空间直角坐标系的画法:,o,1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴,2.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半,有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点怎样来表示它的坐标呢？,(a,b,c),经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c
3、)叫做点的坐标,记为：（a,b,c),在空间直角坐标系中，作出点（,）.,例,分析：,1,1,2,2,在空间直角坐标系中,x轴上的点、xoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？,x轴上的点横 坐标就是与x轴交 点的坐标，纵坐标 和竖坐标都是,xoy坐标平面 内的点的竖坐标为 ，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴 作垂线交点的坐标,单位正交基底：,如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 来表示.,因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系,在空间选定一点O和一个单位正交基底 以点O为原点，分别以 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这
4、样就建立了一个空间直角坐标系O xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.,对空间任一向量 ,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ,使,空间直角坐标系,在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点A, 对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使 (如图).,显然, 向量 的坐标，就是点A在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).,也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.,我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)
5、，其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.,结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 那么有向线段表示的向量坐标怎样求?,空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。,一 空间向量基本定理：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢
6、？,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。,探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面，还应明确：,（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，
7、就隐含着它们都不是 。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。,推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。,x,y,z,B1,A1,D1,C1,B,D,C,A,练习1、,则各顶点的坐标为:,A_,B_,C_,D_,( 0, 0, 0 ),( 2, 0, 0 ),( 2, 2, 0 ),( 0, 2, 0 ),( 0, 0, 2 ),( 2, 0, 2 ),( 2, 2, 2 ),( 0, 2, 2 ),练习、建立直角坐标系，求作 点G(1,3,
8、0)，点Q(0,2,3),D,z,x,y,B1,A1,D1,C1,B,C,A,则各顶点的坐标为:,A_,B_,C_,D_,( 0, 0, 0 ),( 3, 0, 0 ),( 3, 5, 0 ),( 0, 5, 0 ),( 0, 0, 2 ),( 3, 0, 2 ),( 3, 5, 2 ),( 0, 5, 2 ),练习、点B是点A(3,4,5)在坐标平面 内的 射影，求,与y轴垂直的坐标平面是_,(3)点A(3,4,5)关于原点成中心对称的点A 的坐标是,练习、,(1)与x 轴垂直的坐标,与z 轴垂直的坐标平面是_,(2)点P(2,3,4)在 平面内的射影是_,(2,3,0),在 平面内的射影是
9、_,(2,0,4),在 平面内的射影是_,(0,3,4),平面是_,练习6,写出下列各题中向量的坐标,(1,2,3),(-1,5,-4),(-5,-2,0),(0,3,0),(-2,7,4),(-4,-3,6),(-18,12,30),-3+10-5=2,(2,-3,1) (2,0,5)=4+0+5=9.,(2,-3,1) + (12,0,18)+(0,0,-16),=(14,-3,3),(3),(1),(2),练习： 1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。 2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，,例1,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.,已知向量a，b，c是空间的一个基底 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底,例2,练习,再见,
