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1、变换群与几何学,一、射影仿射平面,1、射影仿射平面,定义. 在射影平面上, 指定一条直线作为无穷远直线, 记作l, 并约定对于某取定的射影坐标系, l的方程为x3=0，这样的射影平面称为射影仿射平面, 并称指定的l为该射影仿射平面上的绝对形.,注 据定义, 射影仿射平面上的射影坐标系必须总以l为坐标三点形的边x3=0, 称为射影仿射坐标系.,2、射影仿射变换与仿射变换,定义. 在射影仿射平面上, 保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换.,定理. 射影变换,成为射影仿射变换a31=a32=0.,即射影仿射变换形如,变换群与几何学,射影仿射变换作用于射影仿射平面.,将(3)式化为非齐次(前二
2、式两边分别除以第三式)得,即为仿射变换, 仿射变换作用于仿射平面.,变换群与几何学,3、射影相似变换与相似变换,定义. 在射影仿射平面上, 称无穷远点I(1,i,0), J(1,i,0)为圆点.,定理. 射影仿射变换(3)成为射影相似变换在(3)中有a22=a11且a21= a12；或者a22= a11且a21=a12. 射影相似变换的变换式为,定义. 在射影仿射平面上, 保持圆点不变的射影仿射变换称为射影相似变换.,变换群与几何学,或者,注上面两式中的有穷远部分(非齐次形式)即为相似变换.,定义. 在射影仿射平面上, 称无穷远直线上以两点I(1,i,0), J(1,i,0)为不变元素的椭圆型
3、对合为射影仿射平面上的绝对对合. 称经过I, J两点之一的虚直线为迷向直线.,推论. 射影相似变换保持平面上的绝对对合不变.,注 射影相似变换保持直线的垂直性不变, 从而保持两(通常)直线的夹角不变, 保持任意两线段的比值不变.,注 射影仿射平面上以任一通常点为束心的线束中有一个绝对对合, 以两条迷向直线为不变直线, 其任一对对应直线相互垂直.,变换群与几何学,4、射影正交变换与正交变换,定义. 在射影相似变换中, 若A33/a33=1则称之为射影正交变换, 其有穷远部分(非齐次形式)即为正交变换.,变换群与几何学,在射影相似变换中，如果只考虑有穷部分，则将前面两式两端分别除以第三式得,或者,
4、二、群与变换群,定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为AB到C的一个对应. 则称为AB到C的一个代数运算. 特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算.,定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数系统的科学.,变换群与几何学,比如, 实数集R上的加(减)法、乘法都是R上的代数运算.,比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是FV到V的一个代数运算.,比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算.,比如, sinx不是R上的一个代数运算, 而sinxcosy是R上的一个代数运算.,定义. (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足
5、下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记作G.,(1) 封闭性. a, bG, 有abG.,(2) 乘法满足结合律. 即a, b, cG, 有a(bc)=(ab)c.,(3) 存在单位元. 即eG, 使得aG, 有be=ea=a.,(4) 存在逆元. 即aG, a1G, 满足aa1=a1a=e.,变换群与几何学,定义. (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群.,定理. 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件.,(1) a, bH, 有abH.,(2) 若aH, 则必有a1H.,定义. (群的同构)两个群G, G之间的一个能
6、够保持乘法运算的双射称为G与G 之间的一个同构. 如果群G与G 之间存在一个同构映射, 则称G同构于G , 记作GG.,定理. 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群. 称为集合S上的全变换群.,定理. 非空集合S上部分一一变换的集合G对于变换的乘法构成群(全变换群的子群),(1) 若g1, g2G, 则g1g2G.,(2) 若gG, 则g1G.,定义. 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.,变换群与几何学,三、平面上的几个变换群,P=平面上全体射影变换,PA=平面上全体射影仿射变换,PO=平面上全体射影正交变换,A=平面上全体仿射变换,O=平面上全体正交变换,射影平面
7、,仿射平面,射影变换群P,射影仿射变换群PA,射影正交变换群PO,仿射变换群A,正交变换群O,上述7个变换群之间显然有下列关系：,在射影平面PR2上,在仿射平面A2l上,PS=平面上全体射影相似变换,射影相似变换群PS,S=平面上全体相似变换,相似变换群S,变换群与几何学,四、Klein变换群观点,定义. 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).,S的子集(图形)在G下被分成若干等价类, 属于
8、同一等价类的图形具有相同的G性质(G给S赋予空间结构),注 显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学.,变换群与几何学,设 为 S 的子集, H为G的子群, 且对任意的 gH, 都有g()= , 又H为上的一个变换群, 且HH. 则称(, H)为(S,G)的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S为的绝对形.,定义. 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学.,S,几何学(S,G),子几何学(S,H),H,相对子几何学(, H ),例如:,变换群与几何学,射影几何,射影仿射几何,射
9、影相似几何,仿射几何,相似几何,绝对子几何关系,相对子几何关系,伴随关系,绝对形： l=PR2PA2.,射影欧氏几何,欧氏几何,变换群与几何学,五、几种几何学的比较,1、射影几何学,空间,射影平面PR2,主变换群,射影变换群P,研究内容,图形在射影变换下的不变性质和数量,同素性、关联性,交比,其余所有射影不变性,在射影平面上做演绎推理、对偶变换,基本射影不变性,变换群与几何学,2、仿射几何学,空间,射影仿射平面PR2,主变换群,射影仿射变换群PA,研究内容,图形在射影仿射变换下的不变性质和数量,注 通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.,射影仿射几何学,空间,仿射平面A2,主变换群,
10、仿射变换群A,研究内容,图形在仿射变换下的不变性质和数量,仿射几何学,不可用对偶原则,不可用对偶原则,变换群与几何学,注 简单比是最基本的仿射不变量.,定理. 简单比是仿射不变量.,仿射不变性,平行性,简单比,平行线段的比, 两三角形面积之比, 线段的中点, 三角形的重心, 梯形, 平行四边形, ,定理. 仿射变换保持平行性不变.,注 平行性是最基本的仿射不变性.,仿射几何首先包括射影几何的所有研究内容.,变换群与几何学,3、相似几何学,空间,射影仿射平面PR2,主变换群,射影相似变换群PS,研究内容,图形在射影相似变换下的不变性质和数量,注 通常也直接将相似几何学作为射影仿射几何学的子几何学
11、.,射影相似几何学,空间,仿射平面A2,主变换群,相似变换群S,研究内容,图形在相似变换下的不变性质和数量,相似几何学,不可用对偶原则,不可用对偶原则,变换群与几何学,注 初等几何的研究内容基本属于相似几何.,定理 相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹角不变.,4、欧氏几何学,欧氏几何首先包括相似几何的所有研究内容.,定理 正交变换保持平面上两点间的距离不变.,注 距离是最基本的正交不变性. 由此, 一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象.,相似几何首先包括仿射几何的所有研究内容.,变换群与几何学,结论：在同一个几何学系列中(即, 在前述几何学系列的同一个横行上), 子几何学的研究内容比原几何学丰富. 但是原几何学的内容比子几何学更具纲领性.,变换群与几何学,
