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1、立体几何知识点和例题讲解（高三）立体几何知识点和例题讲解（高三）一、知识点一、知识点1.夹角公式 ：设a a，b b，则 cosa a，b b=.123(,)a a a123( ,)b b b1 1223 3222222 123123aba ba baaabbb2异面直线所成角：=cos|cos,|a b 12121 2222222 111222| | |x xy yz za b abxyzxyz （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）090ooa b , a br r a b ,3.直线与平面所成角：(为平面的法向量).ABsin|AB marcAB m m4.空间四点 A
2、、B、C、P 共面，且 x + y + z = 1OCzOByOAxOP5.二面角的平面角l 或（，为平面，的法向量）.cos|m narcm n cos|m narcm n m n6.异面直线间的距离： (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，| |CD ndn 12,l lnCD、12,l l为间的距离).d12,l l7.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.B| |AB ndn nABA二二温馨提示：温馨提示： 1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. 直线的倾斜角、到的角、与
3、的夹角的取值范围依次是二、题型与方法二、题型与方法【考点透视考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析例题解析】考点考点 1 点到平面的距离点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例 1 如图，正三棱柱的所有棱长都为 ，为中点111ABCABC2D1CC（）求证：平面；1AB 1ABD（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离1AADBC1ABDxz ABC D1A1C1BOFy考点考点 2
4、异面直线的距离异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例例 2 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长ABCS 24SC为 2，且垂直于底面.分别为的中点，求 CD 与 SE 间的距DE、ABBC、离.思路启迪思路启迪：由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.小结小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点考点 3 直线到平面的距离直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面
5、距离间的转化.例例 3 如图，在棱长为 2 的正方体中，G 是的中点，求 BD 到平面的距离.1AC1AA11DGB思路启迪思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.小结小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点考点 4 异面直线所成的角异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.BACDOGH1A1C1D1B1O例例 4、如图，在中，斜边可以通过R
6、tAOB 6OAB4AB RtAOC以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角是RtAOBAOBAOCD的中点AB1 求证：平面平面（2）求异面直线与所成角的余弦值。COD AOBAOCD思路启迪思路启迪：关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 建立空间直角坐标系，如图，则，Oxyz(0 0 0)O ，(0 0 2 3)A ，(2 0 0)C，(013)D ，(0 0 2 3)OA ，( 213)CD ， cosOA CDOACD OA CD A A，66 42 3 2 2A考点考点 5 直线和平面所成的角直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角
7、中占有重要地位，是高考的常考内容.例例 5. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，SABCDABCDSBC ABCD45ABC ，2AB 2 2BC 3SASB（）证明；（）求直线与平面所成角的大小SABCSDSAB如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形且与底面 ABCD 垂直，ADC=60且 ABCD 为菱形(1)求证：PACD； (2)求异面直线 PB 和 AD 所成角的余弦值；(3)求二面角 P-AD-C 的正切值O CADBxyzDBCASABCDP考点考点 6 二面角二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个
8、合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.例例 6如图，已知直二面角，直线PQAPQBCCACB45BAP和平面所成的角为CA30（I）证明； （II）求二面角的大BCPQBACP小命题目的命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.考点考点 7 利用空间向量求空间距离和角利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.例例 7如图，四棱锥是的底面是矩形，平面，分别是PABCDABCDPA ABCD,E F 的中点，又二面角的大小为，,AB PDPCDB45 （1）求证：面；/AFPEC （2）求证：平面平面；PEC PCD（3）设，求点到平面的距离；2,2 2ADCDAPEC命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查ABCQP OxyzABCDPEF空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力
