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1、1.2.1 任意角的三角函数(2),1. 任意角三角函数的定义 2. 三角函数的定义域 3. 三角函数值的符号,R,R,一复习,=1,议一议：是否可以在角 的终边上取一个特殊点 ，使得三角函数值的表达式更为简单？,r=1,r=1,能不能用线段表示纵坐标？怎样才能做到这一点？,共识 为了用线段来表示负数，我们需要对线段重新定义.,几何表示,几何表示,怎样用有向线段表示正弦函数值？,预备知识1:圆心在原点，半径等于单位长度的圆叫做单位圆 ,x,-,-,预备知识2:有向直线与有向线段及其数量, 有向线段:带有方向的线段（或规定了起点和终点的线段）, 有向线段的符号:规定与有向直线方向一致的有向线段为
2、正，与有向直线方向相反的有向线段为负, 有向线段的表示:将向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面, 有向线段的数量:有向线段的长度加符号., 有向直线:规定正方向的直线,(1) 有向线段AB数量为: ,(-1,0),B(2,0),D(0, 2),C(0, -1),(2) 有向线段BA数量为: ,(3) 有向线段CD数量为: ,(4) 有向线段DC数量为: ,x,O,y,3,-3,3,-3,练习,(1) 有向线段AB数量为: ,(-1,1),B(2,1),D(1, 2),C(1, -1),(2) 有向线段BA数量为: ,(3) 有向线段CD数量为: ,(4) 有向线段DC数量为: ,x,O,
3、y,3,-3,3,-3,练习,下面我们来研究正弦、余弦、正切这三种三角函数值的几何表示,由于siny/r，cosx/r与点P(x,y)在角终边上的位置无关，为简单起见，我们取r，即选取角终边与单位圆的交点为P(x,y)，则sin=y，cos=x.,二、新授,过点P作x轴的垂线，垂足为M，显然，有向线段OM的长度为x如果x，有向线段OM 与x轴同向，其数量为x；如果x，有向线段OM与x轴反向，其数量也为x故总有OM x同理可知MPy所以，sinMP，cosOM有向线段MP，OM分别叫做角的正弦线、余弦线,x,-,-,(x,y),思考：怎样运用有向线段表示x，y？,先研究当角终边在y轴的右侧时，在
4、角终边上取点T（，y），则tanyAT；,x,-,-,T(1,y),A(1,0),思考：怎样运用有向线段表示tan？,如果角的终边在y轴的左侧呢？在角终边的反向延长线上取点T(1，y),由于它关于原点的对称点Q(-1，-y)在角终边上，故有tanyAT即总有tanAT因此，我们把有向线段AT叫做角的正切线,思考：怎样运用有向线段表示tan？,x,-,-,T(1,y),A(1,0),Q(-1,-y),三角函数线,能不能用有向线段表示角 的正切呢？,O,P,y,x,X正半,x=1,有向线段MP,OM,AT都称为三角函数线.,有向线段MP，OM，AT都称为三角函数线当角终边在不同象限时，其三角函数线
5、如图所示：,注：当角的终边在x轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点;当角的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.,正切线中,点A为单位圆与 轴的交点.,X正半,三角函数线中，含原点的线段，起点为 ；不含原点的线段，起点为 .,原点,线段与坐标轴的公共点,三角函数,三角函数线,正弦函数 余弦函数 正切函数,正切线AT,P,M,A(1,0),T,sin=MP,cos=OM,tan=AT,注意：三角函数线是有向线段！,正弦线MP,余弦线OM,数形结合:用有向线段表示三角函数值,三.数学应用,例. 比较下列各组数的大小：,例2.作出下列各角的正弦线, 余弦线、正切线.(1) 11/6 ; (
6、2) 2/3.,x,-,-,A(1,0),x,-,-,A(1,0),T,T,举例,例3. 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:(1) cosx=1/4; (2) tanx=1/2;(3) sinx=0.75,举例,例4.分别写出满足下列条件的集合. (1)tan1; (2) sin .,析：利用三角函数线.,举例,例5. (1)若2/3/6, 试确定sin的取值范围.(2)若30120且90, 试确定tan的取值范围.,析：观察2/3/6时的正弦线.观察30120时的正切线.,举例,探究拓展 1. 利用三角函数线探究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域. 2. 利用三角函数线探究正弦函数、余弦
7、函数在0,2的单调性. 3. 利用三角函数线探究正切函数在 (-/2,/2)上的单调性.,1.利用单位圆中的三角函数线比较大小: sin25_sin1 cos2/3_cos4/5 tan2/3_tan4/5,练习,2. 利用单位圆写出符合下列条件的角. sin1/2 cos1/2 tan1,练习,3 利用三角函数线解方程: （1）sin x1/2； （2）cos x1/2.,4 利用三角函数线解不等式 （1）sin x1/2； （2）sin xcos x.,课外探究两个重要结论：,2.当0/2时，总有 sintan.,SPOAS扇形AOPSAOT,MPOA/2,OA OA /2,OA AT /2,MPAT,sintan,利用三角函数线判断下列数值的大小关系并证明. （1）若为锐角，比较sincos与1； （2）若为任意角，比较|sin|cos|与1；,1.三角函数线的定义; 2.三角函数线的应用： 表示三角函数值； 研究三角函数的值域； 研究三角函数的单调性； 解简单的三角不等式.,四 小结,作业：,P15练习 6、7； P22 习题1.2 第 2、3题.,
