向量的内积与正交

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1、1,主讲教师: 张 伟,线性代数,2,第四章,一、向量的内积与正交,四、实对称矩阵的对角化,相似矩阵与二次型,三、相似矩阵,二、方阵的特征值与特征向量,五、二次型及其矩阵表示,六、化二次型为标准形,3,一、向量的内积,二、正交向量组,三、正交矩阵,第一节,向量的内积与正交,第四章,4,设,称,为向量,定义了内积的向量空间,简记,简记,定义1,一、向量的内积,5,设,都是 n 维向量，,K 为实数则有,下面证明 30。,性质,6,设,称,为,的长度。,称为单位向量。,定义2,显然，若,那么,与任何向量都正交。,定义3,7,对于,证明,证明,例1,例2 将向量,单位化。,解,8,二、正交向量组,设

2、有非零向量组,如果其中任意两个不,同的向量都是正交的，即,则称该向量组为正交向量组。,9,定理1,中两两正交、非零向量组,一定线性无关。,证明,设有一组数,使,10,但线性无关,向量组却不一定是正交向量组。,例如,是线性无关的向量组，但是由于,因此，它不是正交向量组。,正交向量组是线性无关的向量组，,11,例3,单位化得,求与,都正交的单位向量。,设所求向量为,解,即,为所求的向量,令,得,12,都是的标准正交基。,称,为标准正交基。,及,定义4,13,求,在标准正交基,下的坐标。,解,例4,14,定理2,中的一个,令,线性无关向量组。,则,是正交向量组，,施密特正交化方法,15,正交化，取,

3、解 先将,化成标准正交基.,例5,试用施密特正交化过程求与线性无关的向量组,等价的单位正交化向量组（正交化，标准化）。,16,即是一组标准正交基。,单位化,为等价的单位正交化向量组。,17,在本例的计算过程中，,的分量是分数，,为了计算,方便，我们也可以取,来代替,此时,同样可得正交向量,然后再标准化，,仍可得标准正交向量组,18,三、正交矩阵,是n阶方阵,若,性质2,的列(行)向量组为正交单位向量组,标准正交基),是正交矩阵,证明,设,则,定义5,性质1,是正交矩阵则A可逆且,设,19,A 为正交阵,例5,观察下列矩阵是否为正交矩阵,即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。,解,则 A 是正交矩阵。,20,则 B 是正交矩阵。,则 C不 是正交矩阵。,21,性质3,设 A、B 都是正交矩阵，,则 AB 也是正交矩阵。,证,因为 A 、B都是正交矩阵，则,则 AB 也是正交矩阵。,性质4,设 A 是正交矩阵，则,也是正交矩阵。,性质5,设 A 是正交矩阵，则,22,例6,阶正交阵，则,证明,(1),