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1、第六章 离散系统z域分析,6.1 z 变换 一、从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域 6.2 z 变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z 域分析 一、差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、利用z变换求卷积和 四、s域与z域的关系 五、离散系统的频率响应,点击目录 ，进入相关章节,第六章 离散系统z域分析,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。,6.1 z变换,一、从拉氏变换到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:,取样信号,两边取双边拉普拉斯变换，得,令
2、z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT) f(k) ，得,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,F(z) = Zf(k) ,f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z),6.1 z变换,二、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。,收敛域的定义：,对于序列f(k)，满足,所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,6.1 z变换
3、,例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1,解(1),可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。,(2),f2(k)的双边z 变换为,F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2,收敛域为0z 0,对有限序列的z变换的收敛域一般为0z|a|,6.1 z变换,例3 求反因果序列,的z变换。,解,可见，b-1z1,即zb时，其z变换存在，,收敛域为|z| |b|,6.1 z变换,例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解,的z变换。,可见，其收敛域为azb （显然要求a
4、2,f2(k)= 2k( k 1)F2(z)=, z0,(k),，z1,，z1,( k 1),6.2 z变换的性质,一、线性,6.2 z变换的性质,本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。,若 f1(k)F1(z) 1z1, f2(k) F2(k) 2z1,6.2 z变换的性质,二、移位（移序）特性,单边、双边差别大！,双边z变换的移位：,若 f(k) F(z) , 0，则,f(km) zmF(z), z ，且有整数m0, 则,f(k-1) z-1F(z) + f(-1) f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1,6.2 z变换的性质,f
5、(k+1) zF(z) f(0)z f(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z,证明： Zf(k m)=,上式第二项令k m=n,特例：若f(k)为因果序列，则f(k m) z-mF(z),6.2 z变换的性质,例1：求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解,z1,例2：求f(k)= k(k)的单边z变换F(z).,解,f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k),zF(z) zf(0) = F(z) +,F(z)=,6.2 z变换的性质,三、序列乘ak(z域尺度变换),若 f(k) F(z) , z ， 且有常数a0,则 akf(k)
6、F(z/a) , aza,证明： Zakf(k)=,例1：ak(k) ,例2：cos(k)(k) ?,cos(k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) ,6.2 z变换的性质,四、卷积定理,若 f1(k) F1(z) 1z1, f2(k) F2(z) 2z2 则 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z),对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列,其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,例：求f(k)= k(k)的z变换F(z).,解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1),6.2 z变换的性质,五、序列乘k（z域微分）,若 f(k) F(z)
7、, z 则, z,例：求f(k)= k(k)的z变换F(z).,解：,6.2 z变换的性质,六、序列除(k+m)(z域积分）,若 f(k) F(z) , 0，,则, z0，则,例：求序列 的z变换。,解,6.2 z变换的性质,七、k域反转(仅适用双边z变换）,若 f(k) F(z) , z 则 f( k) F(z-1) , 1/za,求a k( k 1)的z变换。,解,，|z| a,，|z| 1/a,乘a得,，|z| 1/a,6.2 z变换的性质,八、部分和,若 f(k) F(z) , z，则, max(,1)zmax(|a|,1),6.2 z变换的性质,九、初值定理和终值定理,初值定理适用于
8、右边序列，即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为f(k)F(z) ，z则序列的初值,对因果序列f(k)，,6.2 z变换的性质,证明：,两边乘zM得,zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+,6.2 z变换的性质,终值定理：,终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为f(k) F(z) ，z 且01则序列的终值,含单位圆,6.3
9、逆z变换,6.3 逆z变换,求逆z变换的方法有：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）等。,一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(k 1) + f(k) (k) 相应地，其z变换也分为两部分F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| ,F2(z)=Zf(k)(k 1)=,，|z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2,6.3 逆z变换,解,（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数：z2/(z2-z-2)=
10、1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + ,f(k)=1，1，3，5，k=0,（2） 由于F(z)的收敛域为z1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数:,z2/( 2 z z2)=,6.3 逆z变换,(3) F(z)的收敛域为1z1,，z)和F2(z)(z2 (2) z1 (3) 1z2，故f(k)为因果序列,(2) 当z1，故f(k)为反因果序列,(3)当1z2，,6.3 逆z变换,例2：已知象函数,1z1，后两项满足z , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z1)，则逆变换为,若z ,对应原序列为,6.3 逆z变换,以z为例： 当r=2时，为 kak-1(k) 当r=3时，为,可这样推导记忆： Zak(k)=,两边对a求导得 Zkak-1(k)=,再对a求导得Zk(k-1)ak-2(k)=,故Z0.5k(k-1)ak-2(k)=,6.3 逆z变换,例：已知象函数,，z1,的原函数。,解,f(k)=k(k-1)+3k+1(k),6.4 z域分析,6.4 z域分析,单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。,一、差分方程的变换解,
