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1、共 5 页 第 1 页 玩转函数第三招 第 3 招：函数的值域和最值 一、确定函数的值域的原则一、确定函数的值域的原则 1、当数 y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合。 2、当函数 y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合。 3、当函数 y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。 常见函数的值域：常见函数的值域： 函 数 y=kx+by=ax2+bx+c k y x y=axy=logax a0a0R 4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、求函数值域的方法二、求函数
2、值域的方法11 11种：种： 1 1、直接、直接观察法，一般要用到 2 1 0000xxx x 【例例 1】求函数的值域 1 y x 【例例 2】求函数的值域3yx 【例例 3】 （陕西文）函数 f(x)= (xR)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) 1 1 + x2 D.0,1 2 2、配方法（形如 y=ax2+bx+c(a0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意 x 的取值范围。 ） 二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二 , m n 是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合二次函数的最值问题，勿忘
3、数形结合， 注意“两看两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ， 如（如（1 1）求函数的值域； 2 25, 1,2yxxx （2 2）当时，函数在时取得最大值，则2 , 0( x3) 1(4)( 2 xaaxxf2 x 的取值范围是_；a （3 3）已知的图象过点（2,1） ，则( )3(24) x b f xx 的值域为_ 1212 ( )( )()F xfxfx 3 3、判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这 类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后， 再利用均值不等式： 共 5 页 第 2 页 型，可直接用
4、不等式性质，如如求的值域 2 b y kx 2 3 2 y x 型，先化简，再用均值不等式， 2 bx y xmxn 如（如（1 1）求的值域（2 2）求函数的值域 2 1 x y x 2 3 x y x （3 3）设的值域为-1，4，求 a,b 的值 2 ( )() 1 axb f xxR x 型，通常用判别式法； 2 2 xm xn y xmxn 如如已知函数的定义域为 R，值域为0，2，求常数的值 2 3 2 8 log 1 mxxn y x ,m n 如求函数的值域 2 2 3 1 xx y xx 型，可用判别式法或均值不等式法， 2 xm xn y mxn 如如求的值域 2 1 1
5、xx y x 说明：说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为 0 的情形要特别讨论；二是要看 函数的定义域是否满足 xR。如果 x 有特定的范围限制时，往往要综合运用判别式和韦达定理 等，方能求出 y 的值域。 4 4、反函数法，直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定 所求函数的值域， 如求函数的值域 21 3 x y x 5 5、函数有界性法、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定所求函数 的值域，最常用的就是三角函数的有界性， 如如求函数，的值域 2sin1 1sin y 3 1 3 x x y 2sin1 1cos
6、y 6 6、函数单调性法、函数单调性法 利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， 如如求，的值域为 1 (19)yxx x 2 2 9 sin 1 sin yx x 5 3 2log1 x yx _ 如求函数的值域 （ 可以用换元法或者单调性法）1 2yxx 如求函数的值域 11yxx 共 5 页 第 3 页 7 7、换元法， 通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对 数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法，把一个较复杂的函数变为简单易求 值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型， 如（如（1 1）的值域为_； 2 2sin3
7、cos1yxx （2 2）的值域为_211yxx （3 3）的值域为_；sincossincosyxxxxA （4 4）的值域为_； 2 49yxx （5 5）已知函数 f(x)的的值域是，求的值域。 3 4 , 8 9 ( )1 2 ( )yf xf x 变式：变式：已知，求的值域 2 2 ( ) 1 x f x x ( )1( )yf xf x 8 8、数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、 直线斜率、定比分点等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏 心悦目。 如（如（1 1）已知点在圆上，求及的取值范围( , )P x y 22 1xy 2 y
8、x 2yx （2 2）求函数的值域； 22 (2)(8)yxx （3 3）求函数的值域 22 61345yxxxx 注意注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离x 之差时，则要使两定点在轴的同侧。x 说明：说明：数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法。运用图形的直观性，通过数形结合 使抽象问题直观化；复杂问题简单化；综合问题浅显化，充分训练发散思维。 9、不等式法、不等式法 利用基本不等式，2( ,)abab a bR 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值， 3 3( , ,)abcabc a b cR 解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到
9、拆项、添项和两边平方等技巧。 如如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是 12 ,x a ay 12 ,x b by 21 2 21 )( bb aa _.。 求函数的值域 22 4 11 sincos sincos yxx xx 求函数的值域2sin sin2yxx 说明：说明：利用重要不等式均值定理求函数值域，要注意三条原则：一正数，二定值，三取等。 10 10、一、一 一映射法一映射法 原理：因为原理：因为函数在定义域上 x 与 y 是一一对应的，故两个变量中，若知(0) axb yc cxd 共 5 页 第 4 页 道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例求函数的值域 1 3 21
10、 x y x 11 11、多种方法综合应用、多种方法综合应用 例求函数的值域 2 3 x y x 【好题见识】 1已知在上的最大值为,最小值为,给出下列五个命题:)(xf,bax Mm 若对任何都有,则的取值范围是；,bax )(xfp p,(m 若对任何都有,则的取值范围是；,bax )(xfp p,(M 若关于的方程在区间上有解, 则的取值范围是；x)(xfp ,bap,Mm 若关于的不等式在区间上有解, 则的取值范围是；x)(xfp ,bap,(m 若关于的不等式在区间上有解, 则的取值范围是；x)(xfp ,bap,(M 其中正确命题的个数为 【 】 (A) 4 (B) 3 (C) 2
11、 (D) 1 （答 B） 2.已知函数，若存在实数 ，当时，恒成立，则实数 2 ( )21f xxxt1,xm()f xtx 的最大值为： .m 3. 已知定义在1，1上的函数的值域为2，0，则函数的值域为)(xfy )(cosxfy A1，1B3，1C2，0D不能确定 求函数最值的方法： 1.“数”和“形” ，数形结合： 配方法 直接法 均值不等式法 单调性 代数方法 导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 共 5 页 第 5 页 平面几何知识 几何方法 线性规划 解析几何 斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）:均值不等式法和单调性加以选择；), 0()(Raa x a xxf （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。
