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1、共 8 页 第 1 页 玩转函数第一招 第 1 招：函数与映射概念的理解 【知识点理解】 映射.映射: AB 的概念。f 对于两个集合 A，B 如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括 A、B 及 f）叫做从集合 A 到集合 B 的 映射.记作：f：AB. f f f f (1) (2) (3) (4) 在以上的四种对应关系中， （1） （3）不是映射， （2） （4）是映射. 对于映射这个概念，应明确以下几点： 映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其 它元素的集合. 映射是有方向的，A 到
2、B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的. 映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一 确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映 射的核心. 映射允许集合 B 中的某些元素在集合 A 中没有原象，也就是由象组成的 集合 CB. 映射允许集合 A 中不同的元素在集合 B 中有相同的象，即映射只能是 “多对一”或“一对一” ，不能是“一对多”. 一 一映射：设 A，B 是两个集合，f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这 个映射的作用下，对于集合 A 中的不同的元素，在集合 B 中有不同的象，而且 B 中每一 元素
3、都有原象，那么这个映射叫做从 A 到 B 上的一一映射. 一一映射既是一对一又是 B 无余的映射. 在理解映射概念时要注意：A 中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 总结：取元任意性，成象唯一性。 1 A 2 3 4 5 B 6 5 B 1 A 2 3 4 6 5 B5 B 1 A 2 3 4 5 B 6 1 A 2 3 4 6 5 B 共 8 页 第 2 页 【精准训练】 （1）设是集合到的映射，下列说法正确的是 :fMNMN A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象 MNNM C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合N
4、MNM （答：A） ； （2） 、若从集合 A 到集合 B 的映射 f 满足 B 中的任何一个元素在 A 中都有原象，则称 映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从 集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9（答： B） （3）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点),(baf),(babaf) 1 , 3( _（答：（2，1） ） ； （4）a、b 为实数，集合表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中xxfaN a b M:, 0 , ,1 , 仍为 x，则= A、1 B、0
5、C、1 D、1ba （5）若，则到的映射有 个，到的4 , 3 , 2 , 1A,cbaB , ,a b cRABBA 映射有 个，到的函数有 个（答：81,64,81） ；AB （6）设集合，映射满足条件“对任意的 1,0,1,1,2,3,4,5MN :fMN ，是奇数” ，这样的映射有_个（答：12） ；xM( )xf xf （7）设是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2，则一定是_（答： 2 :xxfBA 或1）. （8） 、已知集合，则满足条件的映射1,2,3A 1,0,1B (3)(1)(2)fff 的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 :fAB （D）7 （9） 、
6、从集合到的映射中满足条件个数是 1,2,3A 3,4B :fAB(3)3f ( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）6 （10） 、已知集合，在 的映射中满足条件，个数是 1,2,3A AA(3)3f(2)1f ( ) （11） 、 A=1，2，3，4，5， ，B=6，7，8， 从集合 A 到 B 的映射中满足 f（1） f（2）f（3）f（4）f（5）的映射有（ ） A、27 B、9 C、21 D、12 解：（1）当一个不等号也没有时， （即与 B 中的一个元素对应） ，则 f 有 C 个 1 3 （2）有一个不等号时的映射（即与 B 中的两个元素对应） ，f 有 C C =12 个 1
7、4 2 3 （3）有二个不等号的映射，f 有 C C =6 个。 2 4 2 3 所以共有 3+12+6=21 个，答案选 C。 （12） 、已知映射，其中集合，集合 B 中的元素都是:fAB 2, 1,0,1,2,3,4A A 中元素在映射 f 下的象，且对任意的，在 B 中和它对应的元素为，则集合 BaA 2 a 的真子集个数是。 共 8 页 第 3 页 （13） 、设集合， 是映射，且满足条件，这样的 , Aa b:fAA ff xf x 从自身的映射个数是 （A）1 （B）2 （C）3 AA （D）4 （14） 、已知集合，则满足条件的映射 , , Mx y z 1,0,1N ( )(
8、 )( )f xf yf z 的个数是 （A）1 （B）5 （C）7 :fMN （D）10 （15） 、从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2，若 n 是奇数就乘 3 再加 1,如此继 续下去,现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 A，10 B，4 C，2 D，1 （16） 、已知集合，则满足条件：对每一个 1,0,1A 2, 1,0,1,2B 是偶数的映射的个数是 ,xAxf x恒使:fAB （A）4 （B）7 （C）12 （D）非上述结果 （17） 、 由定义 43 2 2 3 1 4 43 2 2 3 1 4 1111bxbxbxbxaxaxaxa
9、x 映射：，则的象是（ ）f 43214321 ,bbbbaaaa1 , 2 , 3 , 4 A 、 B、 C 、 D 、 4 , 3 , 2 , 10 , 4 , 3 , 02, 2 , 0 , 11, 4, 3, 0 （18） 、定义运算，则，按照，称 xacx ybdy xaxcy ybxdy 21 xx ypqy 点（x,y）映到点（x,y ）的一次变换。把直线 y=kx 上的各点映到这点本身，而把 直线 y=mx 上的各点映到这点关于原点的对称点。这时，k= m= p= q= 24，1，3，3，-2 （19）设 M平面内的点(a，b)，Nf(x)|f(x)acos2x+bsin2x，
10、给出 M 到 N 的映射 f：(a，b)f(x)acos2xbsin2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为 3 A B2 C D 2 4 函数： 1 函数定义 a:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有两个变量 x，y，并且对于 x 在某个范围内 的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的 函数.x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和 x 的值对应的 y 的值叫做函数值， 函数值的集合叫做函数的值域. b: 近代（映射）定义：设 A，B 都是解空的数的集合，f 是从 A 到 B 的一个对应法则， 那么 A 到 B 的映射 f：A
11、B 叫做 A 到 B 的函数.记作 y=f(x)，其中 xA，yB. 原象的集合 A 叫做函数 f(x)的定义域。 共 8 页 第 4 页 .,)(BCxfC的值域叫做函数象集合 注：（1）两种定义的比较： 相同点：1实质一致 2定义域，值域意义一致 3对应法则一致 不同点：1传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动. 2近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性. （2）对函数定义的更深层次的思考： 映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射 f：AB，其特殊性表现为集合 A，B 均 为非空的数集. .函数: AB 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集
12、！据此可知函f 数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意xy 个。 小结：函数概念 8 个字：非空数集上的映射。 函数三要素 1核心 对应法则 等式 y=f(x)表明，对于定义域中的任意 x，在“对应法则 f”的作用下，即可得到 y.因 此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系 x 与 y 的纽带，从而是函数的核心.对于 比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数 的对应法则 f 也可以采用其他方式（如图表或图象等）. 2定义域 定义域是自变量 x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而 解析式相
13、同的函数，应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定 义域就是指能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所 代表的具体的量的允许取值范围问题. 3值域 值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的 值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相 同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和 对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和
14、对应法则相同时，它们一定为同一函数。 关于函数符号 y=f(x) 1、y=f(x) 即“y 是 x 的函数”这句话的数学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”.f(x)也不一定是解析式. 2、f(x)与 f(a)的区别：f(x)是 x 的函数，在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示 自变量 x=a 时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值.f(a)是 f(x)的一个当 x=a 时的 特殊值. 3如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那 么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就 不是同一个函数. 例：y=f(x)=ax2+bx+c，a，b，c 为常量且 x0 与 S=g（t）=at2+bt+c、a，b，c 为相同 的常量且 t0.则我们说这两个函数是同一个函数，对于它们的图象是一个相同的曲线. 4有些函数在它的定义中，对于自变量 x 的不同的取值范围，对应法则不相同，例如： 共 8 页 第 5 页 x, x0 y=f(x)=|x|= 0, x=0 这样的函数通常称为分段函数.注意，分段函数是一个函数， -x,
