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1、激光原理 第六版 天津理工大学理学院 1 第二章 开放式光腔与高斯光束 1. 证明如图 2.1 所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为。 1 2 1 0 0 证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，根据几何关系可知 11 , r 22 , r 傍轴光线则，写成矩阵形式 211122 , sinsinrrsinA 1 122 得证 21 21 1 2 1 0 0 rr 2. 证明光线通过图 2.2 所示厚度为 d 的平行平面介质的光线变换矩阵为。 1 2 1 0 1 d 证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，入射光线首先经界面 11 , r 22 , r 1 折射，然后在
2、介质 2 中自由传播横向距离 d，最后经界面 2 折射后出射。根据 1 题的结论 和自由传播的光线变换矩阵可得 化简后得证。 21 21 21 12 1 01 0 1 0 0 0 1 rrd 21 21 1 2 1 0 1 drr 3试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。 证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示： 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 2 其往返矩阵为： 由于是共焦腔，则有 12 RRL 将上式代入计算得往返矩阵 12 1 01 0 11 0 10 1 nn n nn n rL rL A B C D T TT TT
3、 TT T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔稳定性条件其中 12 01g g 12 12 1 1,1 LL gg RR 对平凹共轴球面镜腔有则，再根据稳定性条件 12 ,0RR 。 12 2 1,1 L gg R 可得。 12 01g g 2 2 011 L R RL 对双凹共轴球面腔有，则根据稳定性条件 12 0,0RR 12 12 1,1 LL gg RR , 可得。 12 01g g 1 1 2 2 12
4、12 01 0 01 1 RL RL RL RL RR LL RR L 或 对凹凸共轴球面镜腔有，则根据稳定性条件 12 0,0RR 12 12 1,1, 0 LL gg RR 可得。 12 01g g 12 1 12 0111 R L RRR L L RL 12 1010 11 22 110101 ABLL T CD RR 10 01 T 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 3 5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作物质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。 解：设两腔镜和的曲率半径分别为和， 1 M 2 M
5、1 R 2 R 12 1m,2mRR 工作物质长，折射率0.5ml 1.52 当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为 ,工作物质左右两l 边剩余的腔长分别为和，则。设此时的等效腔长为，则光在腔先经历自由传 1 l 2 l 12 lllL L 播横向距离，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离 ，再在工作 1 ll 物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离，则 2 l 所以等效腔长等于 21 () ll LllLl 再利用稳定性条件 由(1)解出 2m1m L 则 所以得到： 1.17m2.17mL 6. 图 2.3 所示三镜环形腔，已知 ，试画出其等
6、效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什l 么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平 面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢(cos )/ 2FR 光线，为光轴与球面镜法线的夹角。/(2cos )FR 0111 (1) 21 LL 1 0.5(1)0.17 1.52 LLL 21 21 10 111011 1 0010100101 1 01 Llll l ll 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 4 图 2.1 解： 22 2 2 2 1010 112 11 010111 442 13 222 1 ABll CD
7、 FF lll l FFF ll FlF 2 2 13 1 2 ll AD FF 稳定条件 2 2 3 11 1 ll FF 左边有 所以有 2 2 3 20 210 ll FF ll FF 21 ll FF 或 对子午线： 对弧矢线： 对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得 子午光线 弧矢光线 任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得 l l R R 平面镜 l cos 2 R F 子午 2cos R F 弧矢 424 3 333 lRlRl或 4 334 3 923 lRlRl或 3 3 23 l RlRl或 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 5 7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，
8、L=30cm，方形孔边长，20.12cmda=632.8nm 镜的反射率为，其他的损耗以每程 0.003 估计。此激光器能否作单模运转？如果 12 1,0.96rr 想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.5 00 TEM 作一个大略的估计。氦氖增益由公式 估算（ 为放电管长度，假设）llL 解：模为第一高阶横模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用 01 TEM 00 TEM 01 TEM 表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式 0 g 根据已知条件求出腔的菲涅耳数 由图 2.5.5 可查得和模的单程衍射损耗为 00 TEM 01 TEM 氦
9、氖增益由公式 计算。代入已知条件有。将、和的值代入 I、II 式，两式 0 e1.075 g l 0 eg l 00 01 1 r 2 r 的左端均近似等于 1.05，由此可见式 II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。 为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足 II 式的条 件，则要求 01 0.047 根据图 2.5.5 可以查出对应于的腔菲涅耳数 01 0.90N 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长 6 22300 632.8 100.90.83mmaL N 同理利满足 I 式的条件可得20.7mma 0 4 e1 3 10 g l l d
10、 0 0 1 200 1 201 e(10.003)1 I e(10.003)1 II g l g l rr rr 22 7 0.06 1.9 30 632.8 10 a N L 8.37 00 6 01 10 10 0 4 e1 3 10 g l L d 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 6 因此，只要选择小孔阑的边长满足即可实现模单模振荡。0.720.83mmmma 00 TEM 8试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 30 TEM 解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成 30 TEM 令，则 I 式可以写成2 /()XLx 22 (/) 303
11、03 ( , )He xy L vx yCX 式中为厄米多项式，其值为 3 HX 3 3 H8-12XXX 由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得 3 H0X 123 0;3/2;3/2XXX 考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置 0s /L 所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在 0 和处，节线之 30 TEM 0s 3/2 间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。 0s 3/2 9. 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。 20 TEM 02 TEM 解：在拉盖尔高斯近似下，可以写成如下的形式 m m e r L r Cr s r s n m m s
12、mnmn sin cos 22 , 2 0 2 2 0 2 0 对于，两个三角函数因子可以任意选择，但是当 m 为零时，只能选余弦，否则无 mn TEM 意义 对于： 20 TEM 2sin 2cos 22 , 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2020 s r ss e r L r Cr 并且，代入上式，得到1 2 2 0 2 2 0 s r L 22 (/) 30303 2 ( , )He I xy L vx yCx L 120s30s 33 0; 22 xxx 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 7 ， 2sin 2cos 2 , 2 0 2 2 0 2020 s r s e r Cr 取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取，就02cos 2 , 2 0 2 2 0 2020 s r
