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1、第9章 配方(混料)试验设计(Formula Experimental Design),第9章 配方(混料)试验设计(Formula Experimental Design),9.0 简述(Overview) 9.1 配方试验设计约束条件(Constraint conditions of formula experimental design) 9.2 单纯形配方设计(Simplex formula design) 9.3 配方均匀设计(Uniform mixture design),第9章配方(混料)试验设计(Formula Experimental Design),1.教学目标-掌握配方试
2、验设计的基本原理及分析计算 2.教学重点-单纯形格子点的配方设计 3.教学难点-单纯形的引入，试验配方的确定,9.0 概述(Overview),所谓混料，是指若干种不同成分按百分比混在一起。如饮料、巧克力等。 9.0.1配方试验设计(Formula Experimental Design)，又称混料试验设计(Mixture Experimental Design)：其目的是合理地选择少量的试验点，通过一些不同配比的试验，得到试验指标与成分百分比之间的回归方程，并进一步探讨组成与试验指标之间的内在规律。,9.0.2 混料试验设计的应用(The applications of formula ex
3、perimental design),混料试验设计在工业、农业和科学试验中都得到广泛的应用。在工业试验方面，如食品、医药、汽油混合物、混凝土、聚合物塑料、合金、陶瓷、油漆、洗涤剂、混纺纤维及烧结矿等产品都会遇到混料设计问题。,9.0.3 混料参数优化必要性,某工序若没有进行系统的混料参数优化，混料参数搭配不合理，势必造成消耗高、质量差、技术经济指标欠佳的状况。 若曾经采用过某些方法进行过工艺参数优化，达到过较好的水平，但是，随着设备的老化、原料产地的多元化等因素的影响，工艺参数处于非最佳状态，需要采用更新的技术进行优化，才能降低消耗、提高技术经济指标，恢复或超越以往的辉煌。,要进行新产品的开发
4、，按照全面质量管理的要求，质量是设计出来的，而不是生产出来的。在产品的设计开发阶段，优化工艺参数，使产品达到高质量、低消耗、低成本、高效益，在一个较高的水平上进入市场，在国内外市场上才能占有一席之地。要实现这一目标，没有高超的试验设计手段是不行的。 因此，新产品的开发和老产品的技术改造都需要工艺参数优化。搞好工艺参数优化可促进科学技术转变为生产力，对企业提高技术管理水平和经济效益大有益处。,9.1 配方试验设计约束条件(Constraint conditions of formula experimental design),9.1.1 约束条件(Constraint conditions)
5、若y表示试验指标，x1，x2，xm表示配方中m种组分各占的百分比，则混料约束条件 ： xj 0 （j1，2，m） x1x2xm1 说明：在混料设计中，每个混料成分的含量都必须表示成分的百分比。显然每个成分的含量百分比应该是非负的并且它们的总和必须等于1。这也是混料设计与独立变量设计最主要的区别。,9.1.2 混料配方设计中的数学模型(The mathematical models of formula experimental design),例：试验指标y与x1，x2，x3之间的三元二次回归方程 经变换无常数项与二次项，只有一次项与交互项 ： 可变为如下的二元二次方程：,最常用的模型,可用数
6、据分析求解回归方程,9.2 单纯形配方设计(Simplex formula design),9.2.1单纯形的概念(The concepts of simplex) 单纯形是指顶点数与坐标空间维数相等的凸图形。在单纯形混料设计中，一般都是用正单形，如正三角形，正四面体等。 平面上的正规单纯形是等边三角形，三维空间的正规单纯形是正四面体，当维数3时，正规单纯形不能用图画出。,正规单纯形的顶点代表单一成分组成的混料，棱上的点代表两种成分组成的混料，面上的点代表多于两种而少于等于m种成分组成的混料，而内部的点则是代表全部m种成分组成的混料。,高为1的正规单纯形可表示混料组成 顶点代表单一成分组成的混
7、料 棱上的点代表两种成分组成的混料 面上的点代表多于两种而m 种成分组成的混料 内部的点则是代表全部m种成分组成的混料： 正规单纯形内任一点到各个面的距离之和是1,9.2.2 单纯形格子点设计 （Simplex-lattice design ）,9.2.2.1 设计原理(Design principle),9.2.2.1 设计原理(Design principle),将图a中高为1的等边三角形三条边各二等分，如图b。则此三角形的三个顶点与三个边中点的总体称为二阶格子点集，记为3，2单纯形格子点设计，其中3表示正规单纯形的顶点个数，即组分数m3，2表示每边的等分数，即阶数d2。 将等边三角形各边
8、三等分，如图c。为三阶格子点集，记为3，3单纯形格子点设计，前面的3表示了正规单纯形顶点个数，即组分数m，后面的3表示了每边的等分数，即阶数d。 用类似的方法，可得到其它各种格子点集。三顶点正规单纯形的四阶格子点集记为3，4，总共有15个点。 四顶点正规单纯形的二阶和三阶格子点集分别用4，2和4，3表示，如图e和f所示。,9.2.2.1 设计原理(Design principle),小结： 正三角形格子点集：3，d 3单纯形的3个顶点，表示3种组分 d每边等分数，称为阶数 四顶点单纯形格子点集：4，d 配方试验点在单纯形格子点上,9.2.2.2 单纯形格子点设计试验方案的确定,无约束单纯形格子
9、点设计 无约束的配方设计：是指除了配方设计的约束条件，不再有对各组分含量加以限制的其它条件 各组分含量xj的变化范围可用高为1的正单纯形表示 每种组分的百分比xj的取值与阶数d有关，为1/d的倍数： xj0，1/d，2/d，d/d1 xj 编码：xjzj 对于无约束单纯形格子设计，不必区分规范变量与自然变量。,例：当m3，d1时 3个试验点(a) 正三角形的三个顶点： （1，0，0），（0，1，0），（0，0，1） 例：当m3，d2时 6个试验点： 图示(b) 表： 3，2 单纯形格子点设计表,例：当m3，d3时 10个试验点： 图示(c) 表： 3，3 单纯形格子点设计表,表9-2 3,2单
10、纯形格子点设计,表9-3 3,3单纯形格子点设计,有约束单纯形格子点设计,除配方设计的约束条件，还要受其它约束条件限制，如： aj xjbj， j1，2，m,有约束单纯形格子点设计,有下界约束的单纯形格子点设计 ： aj xj 试验范围为原正规单纯形内的一个规则单纯形,单纯形格子点设计表的选用 先将自然变量xj（j1，2，m）进行编码 编码公式： 或 0zj1 若自然变量xj无约束，则xjzj 根据组分数m选择合适大小的设计表,9.2.2.3 单纯形格子点设计基本步骤,(1)明确试验指标，确定混料组分 (2)选择单纯形格子点设计，进行试验设计 (3)回归方程的建立 (4)最优配方的确定 (5)
11、回归方程的回代 有下界约束时： 将zj 转换成xj 无约束时：不用回代,例9-1：p.207208 某种葡萄汁饮料主要是由纯净水（x1）、白砂糖（x2）和红葡萄浓缩汁（x3）三种成分组成，其中要求红葡萄浓缩汁（x3）的含量不得低于10%，试通过配方试验确定使试验指标y最大的最优配方。试验指标为综合评分，越高越好。,解题过程： (1)编码 依题意， x10，x20，x30.1，即 ， ， ，,(2)试验方案 由于m=3，故可以选择3,2单纯形格子点设计，试验方案和试验结果见表9-4。,(3)回归方程的建立,本例3,2单纯形格子点设计的回归方程为三元二次方程，即： 将每号试验代入上述三元二次方程，
12、得：,(3)回归方程的建立,也可能引用公式(9-10)。 得：,所以，试验指标y与规范变量之间的三元二次回归方程为： (4)确定最优配方 利用“Excel”中的“规划求解”工具，得到该方程在 时指标值y取得最大值8.525。,(5)方程的回代,由于z1=x1/0.9， z2=x2/0.9，z3=(x3-0.1)/0.9， 所以当x1=0.495, x2=0.495, x3=0.1时,该饮料的评分最高。 将上述编码计算式代入试验指标y与规范变量之间的三元二次回归方程，得到 y=-0.833+7.32x1+6.65x2+8.33x3+12.35x1x2-0.99x1x3-5.43x2x3,9.2.
13、2.4 EXCEL在单纯形配方设计中的应用,单纯形配方设计的回归模型是已知的，例9-1是利用回归模型直接求出回归系数，求出的回归方程项数（包括常数项）与试验次数相等，这样就不能利用Excel的回归分析工具来求回归系数。 但是，由于 ，可将上述例子中回归方程的项数减少，于是就可应用Excel中回归分析工具了。,例1用EXCEL数据分析来解,9.2.3 单纯形重心设计(Simplex-core design,9.2.3.1 单纯形重心设计试验方案的确定 将试验点安排在单纯形的重心上 重心： 单纯形的顶点 棱的中点 三角形的中心 四个顶点的重心 m个顶点的重心,9.2.3.1 单纯形重心设计试验方案
14、的确定,单纯形重心设计就是将试验点安排在单纯形的重心上。对于一个(m-1)维的单纯形，单个顶点的重心就是顶点本身，共有m个；任意两个顶点组成一条棱边，棱的中点即为两顶点的重心，共有(m(m-1)/2)个；任意三个顶点组成一个正三角形，该三角形的中心称为三顶点的重心，共有 (m(m-1)(m-2)/3!)个；四个顶点的重心有(m(m-1)(m-2)(m-3)/4!)。 m维的单纯形重心设计共有2m-1个重心。,单纯形(m个顶点)重心设计试验点包括： m个单一成分的点 二种成分相等的试验点 三种成分相等的试验点 1个m种成分相等的试验点 例:当m=3时 共有7个试验点 图示 重心设计表,9.2.3
15、.2 单纯形重心设计结果分析,将自然变量xj转换成规范变量zj 若m3，规范变量zj与试验指标y之间的回归方程为： 回归系数的计算公式 ：,9.2.3.2 单纯形重心设计结果分析,若m4，规范变量zj与试验指标y之间的回归方程为： 回归系数的计算公式 ：,例9-2：p.210 为控制草莓虫害，可向草莓株体上喷洒化学杀虫剂。现有4种化学杀虫剂可供喷洒。可以单独使用某一种，也可以几种混合在一起使用，为得到最好的杀虫效果，要进行混料试验。设x1，x2，x3，x4分别表示A，B，C，D四种杀虫剂在混合杀虫剂配方中所占的比例。采用了单纯形重心设计(m=4)，共有15种配方。在四块地上分别实施这15种配方
16、，在每块地上将每个配方的农药分别在三株草莓体上喷洒。杀虫效果的指标是7天后害虫的残存率。,解题过程： (1)编码 依题意， 除了约束条件外，各种组分无上下界约束，所以各实际百分比与规范变量在数值上是相等的，即单纯形重心设计表中的数值即为各组分的实际百分比。,(2)试验方案 试验方案和试验结果见表9-5。,(3)回归方程的建立,本例m=4，回归方程的形式如下： 将表9-5中的数据代入上式，可得15个方程，联立这15个方程就可计算出回归方程的15个回归系数。,解方程组,1.8=b1 25.4=b2 28.6=b3 38.5=b4 4.9=0.5b1+0.5b2+0.25b12 3.1=0.5b1+
17、0.5b3+0.25b13 23.7=0.5b1+0.5b4+0.25b14 3.4=0.5b2+0.5b3+0.25b23 37.4=0.5b2+0.5b4+0.25b24 10.7=0.5b3+0.5b4+0.25b34 22.0=0.33b1+0.33b2+0.33b3+0.109b12+0.109b13+0.109b23+0.0359b123 2.4=0.33b1+0.33b2+0.33b4+0.109b12+0.109b14+0.109b24+0.0359b124 2.5=0.33b1+0.33b3+0.33b4+0.109b13+0.109b14+0.109b34+0.0359b134 11.1=0.33b2+0.33b3+0.33b4+0.109b23+0.109b24+0.109b34+0.0359b234 0.8=0.25b1+0.25b2+0.25b3+0.25b4+0.0625b12+0.0625b13+0.0625b14+0.0625b23+0.0625b24+0.0625b34+0.0156b123+0.0156b124+0.0156b134+0.0156b234+0.0039b1234,
