《常微分方程xl》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程xl（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、常微分方程,Ordinary differential equation,王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编,常微分方程 Ordinary differential equation,第一章 绪 论 第二章 一阶微分方程的初等解法 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 第四章 高阶微分方程 第五章 线性微分方程组 第六章 非线性微分方程,课程目的/Major Subjection of Course/学习各类可求解的常微分方程的类型及其求解方法。熟悉常微分方程解的基本性质，如解的存在性，唯一性等内容。 课时/Periods/ 4节/周，共64学时。 考试/Examination/ 闭卷 参考书目/
2、Reference Books/ 叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。 王柔怀，伍卓群，常微分方程讲义，人民教育出版社。,第一章 绪 论 Introduction, 微分方程概述 /Sketch of ODE/ 基本概念 /Basic Conception/ ,本章要求/Requirements/, 能快速判断微分方程的类型； 掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式； 理解微分方程解的意义。,CH.1 Introduction,微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到Differe
3、ntial Equations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、 Euler 、Taylor 、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。, 1.1 微分方程概述/ Sketch of ODE/,1.1 Sketch of ODE,含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如: 1 代数方程(组)，其未知量为数一元n次代数方程：,无理方程：,方程组：,2 超越方程（组），其含有超越函数,三角方程：,指数方程：,其特点：方程的解为实数（有限个或
4、者无限个）,方程/Equation/,1.1 Sketch of ODE,例,3 函数方程（或泛函方程），其未知量为函数,其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。,定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某 些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程 。,1.1 Sketch of ODE,n阶隐式方程,n阶显式方程,方程组,偏微分方程,偏微分方程,不是微分方程,1.1 Sketch of ODE,例1： 质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随时间 t 而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离 S 应满足的微分方程。,微分方程模型举例/Model
5、ing of ODE/,解： 设在时刻 t 物体下落的距离为按牛顿第二定律,1.1 Sketch of ODE,例2：放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。,微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。,解：设在任意时刻 t 镭的质量为R(t),1.1 Sketch of ODE, 1.2 基本概念/Basic Conception/,1. 常微分方程和偏微分方程2. 一阶与高阶微分方程3. 线性和非线性微分方程4. 解和隐式解5. 通解和特解6. 积分曲线和积分曲线族7. 微分方程
6、的几何解释-方向场,常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/,常微分方程/ODE / 在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程 称为常微分方程。 偏微分方程/ PDE/ 自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。,1.2 Basic Conception,一阶与高阶微分方程/First and Higher ODE/,微分方程的阶/Order/ 在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最 高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程。例如,1.2 Basic Conception,一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：,一阶常微分
7、方程的一般显式形式可表示为：,类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：,n阶显方程的一般形式为,其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。,1.2 Basic Conception,线性和非线性微分方程/Linear and Nonlinear ODE/,如果方程,的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为 线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。例如：,1.2 Basic Conception,n阶线性微分方程的一般形式为：,其中,均为 的已知函数,如：2阶线性方程的一般形式,1.2 Basic Conception,解和隐式解/Solution/,对于方程,若将函数,代入方程后使
8、其有意义且两端成立,即,则称函数 为该方程的一个解.,或,一阶微分方程,有解,即关系式,若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程 的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。,包含了方程的解，,1.2 Basic Conception,通解和特解/General Solution and Special Solution/,常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常 数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程 的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。 常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。,例：二阶方程,其通解,而,是方程满足初始条件,解。,1.2 Bas
9、ic Conception,初值条件/Initial Value Conditions/,对于 n 阶方程,初值条件可表示为,n阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示,一阶和二阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示,1.2 Basic Conception,积分曲线和积分曲线族 /Integral Curve(s)/,一阶微分方程,的解,平面的一条,曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解,表示,表示,平面的一族曲线，称它们为微分方程,的积分曲线族。,1.2 Basic Conception,方向场/Directional Pattern/,对于一阶微分方程,其右端函数,的定义域为 ，,在定义域的每一点 处，画一,个小线段，其斜率等于,，此时，点集,就成,为带有方向的点集。称此区域为由方程,确定的方向场。,常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线 的方向等于方向场中该点的方向。,1.2 Basic Conception,例 画出方程,的方向场。,等倾线方程,即,也就是说，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。,x,y,o,1.2 Basic Conception,
