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1、,第二篇 材料力学,工程力学(静力学与材料力学),杆件的内力分析与内力图,第二篇 材料力学,工程力学 ( 静力学与材料力学),第5章,返回总目录,杆件在外力作用下，横截面上将产生轴力、剪力、扭矩、弯矩等内力分量。在很多情形下，内力分量沿杆件的长度方向的分布不是均匀的。研究强度问题，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。内力分量最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究刚度问题虽然没有危险面的问题，但是也必须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的。,为了确定内力分量最大的横截面，必须知道内力分量沿着杆件的长度方向是怎样分布的。杆件的内力图就是表示内力分量变化的图形。,本章首先
2、介绍内力分量的正负号规则；然后介绍轴力图、扭矩图和剪力图与弯矩图，重点是剪力图与弯矩图；最后讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用。,第5章 杆件的内力图, 基本概念与基本方法, 轴力图与扭矩图, 剪力图与弯矩图, 结论与讨论,返回总目录,第5章 杆件的内力图,返回首页, 基本概念与基本方法,返回总目录,第5章 杆件的内力图,确定外力作用下杆件横截面上的内力分量，重要的是正确应用平衡的概念和平衡的方法。这一点与静力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要区别在于，在静力分析中只涉及共同系统或单个刚体的平衡，而在确定内力时，不仅要涉及单个构件以及构件系统的平衡，而
3、且还要涉及构件的局部的平衡。因此，需要将平衡的概念加以扩展和延伸。, 基本概念与基本方法, 整体平衡与局部平衡的概念, 内力与外力的相依关系, 基本概念与基本方法, 控制面, 杆件内力分量的正负号规则, 指定截面上内力分量的确定, 整体平衡与局部平衡的概念, 基本概念与基本方法,弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截 取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或 总体平衡（overall equilibrium）；后者称为局部平衡 （loca1equilibrium）。, 基本概念与基本方法,整体是指杆件所代表的某一构件；局部是指：可以是 用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；也可以是无
4、限接 近的两个截面所截出的一微段；还可以是围绕某一点截取的 微元或微元的局部；等等。, 基本概念与基本方法, 内力与外力的相依关系, 基本概念与基本方法,应用截面法可以证明，当杆件上的外力（包括载荷与约 束力）沿杆的轴线方向发生突变时，内力的变化规律也 将发生变化。,所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的 情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。, 基本概念与基本方法,所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的 情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。,所谓内力变化规律是指表示内力变化的函数或变化的图线 。这表明，如果在两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力 作用，则这一段
5、杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方 程或者同一图线描述。, 基本概念与基本方法, 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；, 在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；, 基本概念与基本方法, 基本概念与基本方法, 控制面,根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：, 集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。, 基本概念与基本方法,外力规律发生变化截面集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终
6、点处的横截面。, 基本概念与基本方法, 杆件内力分量的正负号规则, 基本概念与基本方法,同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。, 基本概念与基本方法,扭矩Mx扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。,弯矩M(My或Mz)一作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。, 基本概念与基本方法, 基本概念与基本方法, 指定截面上内力分量的确定, 基本概念与基本方法,应用截面法可以确定杆件任意横截面上的内力分量, 用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分, 考察其中任意一部分的平衡, 由平衡方程求得横截面的内力分量,C
7、, 基本概念与基本方法,例题1,一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用。,试确定:截面C及截面D上的剪力和弯矩。C、D截面与加力点无限接近。, 基本概念与基本方法,解：1. 应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。,2. 应用截面法确定C截面上的内力分量,用假想截面将梁C截面处截开，以左边部分为平衡对象。,因为外力与梁轴线都在同一平面内，而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。, 基本概念与基本方法,解： 2. 应用截面法确定C截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方
8、向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,所得结果均为正值，这表明所假设的C截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。, 基本概念与基本方法,解： 3. 应用截面法确定D截面上的内力分量,用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。, 基本概念与基本方法,解： 3. 应用截面法确定D截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,因为D截面无限接近B截面，所以式中, 基本概念与基本方法,解： 4. 讨论,本例中所选择的研究平衡对象都是C、 D截面以左部分梁，因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、 D截面以右部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力。计算过程
9、会更简单些。, 基本概念与基本方法, 轴力图与扭矩图,第5章 杆件的内力图,返回首页,返回总目录, 轴力图, 扭矩图, 轴力图与扭矩图, 轴力图, 轴力图与扭矩图, 轴力图与扭矩图,沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为轴向载荷(normal load)。杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力一种内力分量FN。,杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时，则杆件的所有横截面上的轴力都是相同的。如果杆件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点之间的横截面上的轴力是相同的。,表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为轴力图（diagram of normal force）。,直杆，A端固定，在B、
10、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F15 kN，F210 kN。,试画出：杆件的轴力图。,例题2,解：1. 确定A处的约束力,A处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力FA。,求得 FA5 kN,由平衡方程, 轴力图与扭矩图,解：2. 确定控制面,3. 应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、 B“、B 、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。,在集中载荷F2、约束力FA作用处的A、C截面，以及集中载荷F1作用点B处的上、下两侧横截面都是控制面。, 轴力图与扭矩图,3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分
11、别从控制面A、 B“、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 轴力图与扭矩图,3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B“、 B 、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 轴力图与扭矩图,3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、 B“、B 、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 轴力图与扭矩图,3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假
12、想截面分别从控制面A、 B“、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 轴力图与扭矩图,4. 建立FNx坐标系，画轴力图,FNx坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。,将所求得的各控制面上的轴力标在FNx坐标系中，得到a b“ 、 b和c四点。因为在A、 B“之间以及B、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同。这表明a点与b“点之间以及b和c点之间的轴力图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力图。, 轴力图与扭矩图, 轴力图与扭矩图,根据以上分析，绘制轴力图的方法,
13、确定约束力；, 根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；, 应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力, 建立FNx坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。, 轴力图与扭矩图, 扭矩图, 轴力图与扭矩图,作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化而得，但是对于传递功率的轴，通常都不是直接给出力或力偶矩，而是给定功率和转速。,因为力偶矩在单位时间内所作之功即为功率，于是有,其中T为外力偶矩；为轴转动的角速度；P为轴传递的功率。, 轴力图与扭矩图,作用在杆件上的
14、外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化而得，但是对于传递功率的轴，通常都不是直接给出力或力偶矩，而是给定功率和转速。,考虑到：1 kWl000 Nm/s，上式可以改写为,其中功率P的单位为kW；n为轴每分钟的转数，用r/min表示。, 轴力图与扭矩图,其中功率P的单位为kW；n为轴每分钟的转数，用r/min表示。,在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上将产生扭矩。确定扭矩的方法也是截面法，即假想截面将杆截开分成两部分，横截面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所有外力偶矩组成平衡力系。据此，即可求得扭矩的大小与方向。,如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于
15、作用在轴上的外力偶矩。当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。,扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagram of torsion moment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似，这里不再重复。, 轴力图与扭矩图,例题2,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。,试 ：画出圆轴的扭矩图。, 轴力图与扭矩图,解：1确定控制面,外加力偶处截面A、B、C、D两侧均为控制面。,2应用截面法由平衡方程,确定各段圆轴内的扭矩 。, 轴力图与扭矩图,3建立Mxx坐标系，画出扭矩图建立Mxx坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mxx坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。, 轴力图与扭矩图, 剪力图与弯矩图,第5章 杆件的内力图,返回首页,返回总目录, 剪力方程与弯矩方程, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程, 剪力图与弯矩图,
