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1、浅谈三角形中位线定理的几种证法浅谈三角形中位线定理的几种证法康园中学校 张瑜 摘要摘要：华师大数学九年级上册第 23 章中，学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法我与学生进行了深入地研究，总结了十种类型的方法，下面将三角形中位线定理的这些证法与大家共同分享。共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。关键词关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。如图，已知ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 两边
2、中点。求证：DEBC，DE=BC。21一、一、类类型一：型一：动动手操作法手操作法方法方法 1 1：度量法：度量法 华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能 力（即学生的动手操作和简单的说理验证） ，八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即 严格地利用定理进行证明） 。因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。首先用直尺分别量出 DE、BC 的长，看是否满足 DE=BC，再用量角器分别量出ADE 和B 的度数，看21是否相等，从而判断是否平行。二、二、类类型一：相似法型一：相似法方法方法 2 2：相似法一：相似法一根据 AD
3、=AB，AE=AC，DAE=BAC，从而得到ADEABC。于是21 21ADE=ABC，DE:BC=AD:AB=1:2。轻松得到 DEBC，DE=BC。21方法方法 3 3：相似法二：相似法二过点 D 作 DFAC 于 F，过点 B 作 BGAC 于 G，则 DF/BG，于是ADFABG，得到DF=BG，AF=FG。因为 AE=EC，所以 FE=GC。根据 DF:BG=FE:GC，DFE=BGC=900，得到DFE21 21BGC，从而命题得证。3、类类型三：倍型三：倍长长法法方法方法 4 4：中位线倍长法一：中位线倍长法一：这是常用的方法，也是北师大教材中使用的方法。延长 DE 至 F，使
4、EF=DE，连接 FC，则ADEABCDEABCDEFG FADEBCFADEBCFADEBCGFADEBC方法 2方法 3方法 4方法 5方法 6FEC，则 AD/FC 且 AD=FC，所以 BD/FC 且 BD=FC，则四边形 DBCF 是平行四边形。因 DE=DF，则21DEBC，DE=BC。 21方法方法 5 5：中位线倍长法二：中位线倍长法二： 延长 DE 至 F，使 EF=DE，连接 CF、DC、AF，则四边形 ADCF 为平行四边形，易知四边形 BCFD 为平 行四边形，从而命题得证。 方法方法 6 6：中线倍长法：中线倍长法： 连接 BE，延长 BE 至 G，使 EG=BE，连
5、接 CG，延长 DE，交 CG 于 F，则ABECGE，得到 AD/FC 易证四边形 DBCF 是平行四边形，从而命题得证。4、类类型四：平行法型四：平行法方法方法 7 7：外部平行一边法：外部平行一边法： 过 C 作 CF/AB，交 DE 的延长线于 F， 易证ADECFE，得到 DE=EF，AD=CF. 从而四边形 BCFD 是平行四边形， 从而命题得证。 方法方法 8 8：外部平行底边法：外部平行底边法 过 A 作 AF/BC，取 BC 中点为 G，连接 GD，延长 GD，交 AF 于 F，则ADF BDG，FD=DG，AF=BG，则 AF=GC，则四边形 AFGC 是平行四边形，于是
6、DGAC，DG=AC，则四边形 DGCE 是平行四边形，DE/BC，DE=GC，从而命题得证。方法方法 9 9：外部平行中位线法：外部平行中位线法 过 A 作 AF/DE，AF=DE，连接 FE，延长 FE，交 BC 于点 G，则四边形 AFED 是平行四边形， FG/AB，从而得到 BG=CG，AEFCEG，则 BG=AF=DE=GC，FE=EG=AD=DB，则四边形 BGED 是平 行四边形，从而命题得证。方法方法 1010：内部平行一边法：内部平行一边法过 E 作 EF/AB，交 BC 于 F，则CEFCAB，得到 BF=FC，EF=AB=AD，A=FEC，利用21“SAS”可以证明AD
7、EEFC，得到 DE=FC，AED=C，从而命题得证。5、类类型五：作高法型五：作高法方法方法 1111：作底边高法：作底边高法 此法是所有方法中最为巧妙也是最为经典的方法。其思路主要是对于初中阶段所学知识的综合运 用。首先回顾与中点有关的知识点（1、全等；2、垂直平分线；3、等腰三角形三线合一；4、直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ）这时联想到第 4 个知识点中点但没有直角三角形，就必须FADEBCFADEGBCFADEGBCFADEBC 方法 7方法 8方法 9方法 10构造出来，于是就要作高。过 A 作 AFBC 于 F，连接 DF，EF。得到 FD=BD=DA；FE=AE=EC
8、。利用 “SSS”证明ADEFDE，得到ADE=FDE，再运用三线合一得到 AFDE，再分别作 DMBC 于 F，ENBC 于 N，于是四边形 DMFG、ENFG、DMNE 均为矩形，从而命题得证。方法方法 12：作中位线高法：作中位线高法分别过点 A、B、C 向中位线作垂线，垂足分别为 F、M、N。易知ADFBDM，AEFCEN，则MD=DF，NE=EF，MN=2DE，MB/NC，MB=NC，得到四边形 MBCN 为矩形，从而命题得证。七、七、类类型七：构造法型七：构造法方法方法 13：构造矩形法：构造矩形法 过点 D 作 DFBC 于 F，过点 E 作 EGBC 于 G，过 A 作 MN/
9、BC，分别与 FD、GE 的延长线交于 M、N。则四边形 MFGN 为矩形，MDAFDB，NEAGEC，于是 MN=FG，MD=DF=NE=EG，得到四边 形 DFGE 为矩形，从而命题得证。方法方法 14：构造平行四边形法一：构造平行四边形法一 过点 D、E 作 DF/EG，分别交 BC 于 F、G，过点 A 作 MN/EG，分别与 FD、GE 的延长线交于 M、N。则四边形 MFGN 为平行四边形，与构造矩形法相同原理，从而命题得证。方法方法 15：构造平行四边形法二：构造平行四边形法二 过点 A 作 AF/BC，且 AF=BC，连接 CF，延长 DE，交 CF 于 G，则四边形 ABCF
10、 为平行四边形， AB/FC。得到ADECGE，于是 CG=AD=DB，则四边形 BCGD 为平行四边形，从而命题得证。八、八、类类型八：旋型八：旋转转法法方法方法 1616：旋转法一：旋转法一因 AE=EC，故可将ADE 绕点 E 顺时针旋转 1800至CFE。则ADEFEC，AD/FC，AD=FC，则 BD/FC且BD=FC，则四边形 DBCF 是平行四边形。由 DE=DF，所以 DEBC，DE=BC。21 21方法方法 1717：旋转法二：旋转法二 因 AE=EC，故可将ABC 绕点 E 顺时针旋转 1800至CFA。可得到四边形 DBCG 是平行四边形，从 而命题得证。GNFABCDE
11、MFNABCDEMFNABCDEMGFNABCDEMGFADEBCG方法 11方法 12方法 13方法 14FADEBC方法 15GFADEBCFADEBCG方法 16方法 18方法 19方法方法 1818：旋转法三：旋转法三 连接 BE，因 AE=EC，故可将ABE 绕点 E 顺时针旋转 1800至CGE，则ADECFE，BDE GFE，于是 BD/FC，BD=FC，可得到四边形 DBCF 是平行四边形，从而命题得证。九、九、类类型九：同一法型九：同一法方法方法 1919：同一法：同一法过点 D 作 DF/BC，交 AC 于 F，ADFABC，得到 AF=AC。由已知条件中 AE=EC，能够
12、推出21F 与 E 为同一个点，从而命题得证。十、十、类类型十：反型十：反证证法法方法方法 2020：反证法一：反证法一假设 DE 与 BC 不平行，设 DE 与 BC 交于点 F。过点 C 作 CG/BD，交 DF 于 G，则FGCFDB，得 到 GC：DB= FG：FD 1，即 GCDB。根据 CG/BD 可知，CEGAED，则 GC=AD=DB，这与 GCDB相矛盾，从而命题中的 DE/BC 得证。再根据 DE/BC 很容易证明 DE=BC。21初中数学中的几何变换包括：平移、旋转、轴对称。我把这些方法分成了十种不同的类型， 其中运用这三种变换都能达到证明的目的。因为有中点，所以倍长法与
13、作高法和构造法都能构造 全等三角形，并且还能自动生成对顶角，平行法相当于就是把线段进行平移，也能构造全等三角 形，并生成对顶角，因此平行法、倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转，从而顺利地寻找 到证明思路与方法。这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就在 AE=EC，且 A、E、C 在同一 条直线上。 我们应该认真研究初中数学几何知识，发现其本质与联系，就能对几何证明达到融会贯通、 运用自如的地步。要让学生对几何证明进行全方位地探求，抓住问题的全貌以及与问题相关的其 他因素，进行多角度、多层次的思考与研究，唯有这样，我们才能使学生的思路更加宽广，思维 更加灵活，培养出具有创造性思维能力的学生。FADEBC 方法 19FAD EBCG方法 20
