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1、第二章 初等模型,2.1 公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩2.6 实物交换2.7 核军备竞赛2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化,2.1 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,若增加为21席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对
2、不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平, 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 r
3、B(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定义,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) p2/n2,问：,p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,制动器作用力、车重、车速、道路、气候 ,最大制动力与车质量成正比，使汽
4、车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2. 反应距离 d1与车速 v成正比,3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2= m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”,模 型,2.5 划艇比赛的成绩,对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,
5、准备,调查赛艇的尺寸和重量,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比,2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比,符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W,艇的静态特性,艇的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,浆手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A
6、W(=w0+nw) n,np fv,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验,与模型巧合！,问题,甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),2.6 实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，
7、,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加, y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,（f 等满意度曲线）,乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）,双方的交换路径,乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）,甲的无差别曲线族 f=c1,双方满
8、意的交换方案必在AB（交换路径）上,因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p,两族曲线切点连线记作AB,p,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量 (x,y),0xx0, 0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为,(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD,AB与CD的交点p,设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0),2.7 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,
