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1、 数学高三专题系列之数学高三专题系列之 椭圆练习题椭圆练习题 3 3例例 1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：解：（1）当为长轴端点时，02，A2a1b椭圆的标准方程为：；11422 yx（2）当为短轴端点时，02，A2b4a椭圆的标准方程为：；116422 yx说明：说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考 虑两种情况例例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：解： ，31222 cac223ac 33 31e说明：说明：求椭
2、圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齐次方程，acac 再化含的方程，解方程即可e例例 3 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率x01 yxABMABOM为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程解：解：由题意，设椭圆方程为，12 22 yax由，得， 1012 22 yaxyx 021222xaxa，22 211 2aaxxxM2111axyMM，4112axykMM OM42a为所求1422 yx说明：说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关 系，来解决弦长、弦中点、弦斜率
3、问题例例 4 椭圆上不同三点，与焦点的距离成等差数列192522 yx11yxA， 594，B22yxC，04，F（1）求证；821 xx（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率ACxTBTk 证明：证明：（1）由椭圆方程知，5a3b4c由圆锥曲线的统一定义知：，acxcaAF 12 11545xexaAF同理 2545xCF ，且，BFCFAF259BF ，518 54554521 xx即 821 xx（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为AC 2421yy，42212121xyyxxyyy又点在轴上，设其坐标为，代入上式，得Tx00，x212 22 1 024xxyyx
4、又点，都在椭圆上，11yxA，22yxB， 2 12 125259xy2 22 225259xy 21212 22 1259xxxxyy将此式代入，并利用的结论得821 xx253640x 45 40590 xkBT例例 5 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线 的距离是13422 yx1F2FMMlMN与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由1MF2MFM解：解：假设存在，设，由已知条件得M11yxM，2a3b1c21e左准线 的方程是，l4x14xMN又由焦半径公式知：，111212xexaMF112212xexaMF，212MFMFMN 112 121
5、22124xxx整理得04832512 1xx解之得或 41x5121x另一方面 221x则与矛盾，所以满足条件的点不存在M 说明：说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程 （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进 而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成） sin3cos2，M例例 6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程1222 yx 21 21，PP分析一：分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求kk解法一：解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整
6、理得k 21 21xky023 2122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122 kkkxx是弦中点，故得P121 xx21k所以所求直线方程为0342 yx分析二：分析二：设弦两端坐标为、，列关于、的方程组，从而求斜率：11yx，22yx ，1x2x1y2y2121 xxyy 解法二：解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 21 21，P11yxA，22yxB，1.1121221212 22 22 12 1yyxxyxyx，得 022 22 12 22 1yyxx将、代入得，即直线的斜率为212121 xxyy 21所求直线方程为0342 yx说明：说明： （1）有关弦中点
7、的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点 轨迹 （2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率 （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用例例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点；62 ，（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6x分析：分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由求出，在得方程12222 by ax1482a372b后，不能依此写出另一方程13714822 yx13714822 xy解：解：（1）设椭圆
8、的标准方程为或12222 by ax12222 bx ay由已知 ba2又过点，因此有62 ，或 1622222 ba1262222 ba由、，得，或，故所求的方程为1482a372b522a132b或13714822 yx1135222 xy（2）设方程为由已知，所以故所求方程为12222 by ax3c3 cb182a191822 yx说明：说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” 关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或12222 by ax12222 bx ay例例 8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的1121622 yxF31，AMMF
9、AM2M坐标分析：分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值一般地，求21eMF2M均可用此法MFeAM1解：解：由已知：，所以，右准线4a2c21e8xl：过作，垂足为，交椭圆于，故显然AlAQ QMMFMQ2的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上故所以MFAM2AQM3MyM32Mx332，M说明：说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理事实上，如图，即是到右准线MFAM221eMFM的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值MQMMA例例 9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值1322 yx06 yx分析：分析：先写出椭圆
10、的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为 .sincos3 yx，sincos3，263sin226sincos3 d当时，13sin 22最小值d说明：说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程例例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离x23e 230，P是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标7P7分析：分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大值时，要注意讨论的db 取值范围此题可以用椭圆的标准
11、方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解 决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一：解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定12222 by ax0 ba由可得2222222 21ab aba ace，即21 43112eabba2设椭圆上的点到点的距离是，则yx，Pd4931232 22 22 22 yybyayxd342134933422 22 byyyb其中byb如果，则当时，（从而）有最大值21bby2dd由题设得，由此得，与矛盾 22237 b21 237b21b因此必有成立，于是当时，（从而）有最大值21b21y2d
12、d由题设得，可得， 34722 b1b2a所求椭圆方程是11422 yx由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是21y 213， 213， 230，P7解法二：解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，为参 sincosbyax0 ba20数由可得222222 21 ab aba ace，即21 43112eabba2设椭圆上的点到点的距离为，则yx， 230，Pd2 222 22 23sincos23 bayxd49sin3sin34222bbb3421sin322 2 bbb如果，即，则当时，（从而）有最大值121b21b1sin2dd由题设得，由此得，与矛盾，因此
13、必有成立 22237 b21 237b21b121b于是当时（从而）有最大值b21sin2dd由题设知， 34722 b1b2a所求椭圆的参数方程是 sincos2yx由，可得椭圆上的是，21sin23cos 213， 213，例例 11 设，求的最大值和最小值xRyxyx63222xyx222分析：分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致设，xyx63222mxyx222显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解：解：由，得xyx63222123 4923 22 yx可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点 023，x设，则mxyx2221122myx它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为1
