椭圆典型题型归纳(学生版)

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1、龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 1 页椭圆典型题型归纳椭圆典型题型归纳题型一题型一. . 定义及其应用定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心22:(4)100Cxy(4,0)A的轨迹方程； M例 2. 方程所表示的曲线是 223 (1)(1)22xyxy练习练习：1.方程对应的图形是（ ）2222(3)(3)6xyxyA.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程对应的图形是（ ）2222(3)(3)10xyxyA.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.方程成立的充要条件是（ ）2222(3)(3)10xyxy A. B. C. D. 22 12

2、516xy22 1259xy22 11625xy22 1925xy4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是 2222()()1xymxymm m5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆22941xy1F,A B,A B的另一个焦点构成的的周长等于 ；2F2ABF6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段22(1)25xyC(1,0)AQ的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ；AQCQMM题型二题型二. . 椭圆的方程椭圆的方程 （一）由方程研究曲线（一）由方程研究曲线例 1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的22 11625xy点的轨迹； （二）分情况求

3、椭圆的方程（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点，求椭圆的方(3,0)P龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 2 页程； （三）用待定系数法求方程（三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、1( 6,1)P，求椭圆的方程；2(3,2)P 例 4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；(2, 3)229436xy注：一般地，与椭圆注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为共焦点的椭圆可设其方程为；22221xy ab22 2 221()xykbakbk （四）定义法求轨迹方程；（四）定义法求轨迹方程

4、；例 5.在中，所对的三边分别为，且，求满足ABC, ,A B C, ,a b c( 1,0),(1,0)BC且 sinB，sinA，sinC 成等差数列时顶点的轨迹；bacA练习：练习： 1.三角形 ABC 中，B（-2,0） ，C（2，0） ，AB、AC 边上的中线长之和为 30，求三角形 ABC 的重心的轨迹方程。2.已知动圆 C 和定圆 O：（x-3）2 +y2 = 64 相内切，且 A（3，0）在动圆 C 上，求动圆圆 心的轨迹方程。（五）相关点代入法求轨迹方程；（五）相关点代入法求轨迹方程；例 6.已知轴上一定点 A(2，-3)，为椭圆上任一点，求的中点的轨xQ2 214xyAQM

5、迹方程； （六）直接法求轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7.设动直线 垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线 上满足lx2224xy,A BPl龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 3 页的点，求点的轨迹方程； 1PA PB AP（七）列方程组求方程（七）列方程组求方程例 8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标(0, 50)F32yx为，求此椭圆的方程； 1 2题型三题型三. .焦点三角形问题焦点三角形问题例 1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，22 11625xyP5 32F1F求、及；1PF2PF12cosFPF题型四题型四. .椭圆的几

6、何性质椭圆的几何性质例 1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，P22221xy ab5 31F2F椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为 c12PFPFA例 2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰22221xy ab(0)ab, ,A B C DABCD好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例 3.若椭圆的离心率为，则 ；22 114xy k1 2k 例 4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且P22221(0)xyabab1F2F，则椭圆的离心率为 0 1215PFF0 2175PF F题型五题型五. .求范围求范围龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 4 页例 1.方程

7、表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；22221(1)xy mmxm题型六题型六. .椭圆的第二定义的应用椭圆的第二定义的应用例 1. 方程所表示的曲线是 222 (1)(1)2xyxy例 2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；(1,2)My1 2例 3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为22 1259xyP5 2P例 4已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到13422 yxyM左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能12,F F找到，请说明理由。例 5已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，

8、点是15922 yx) 1,1 (A1F2FP椭圆上一点求的最小值及对应的点的坐标223PFPA P题型七题型七. .求离心率求离心率例 1.椭圆的左焦点为，是两个顶22221xy ab(0)ab1(,0)Fc(,0)Aa(0, )Bb点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率 1FAB7be 例 2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，P22221(0)xyabab1F2F12PFF，则椭圆的离心率为 212PF F龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 5 页例 3. 、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，且1F2F2F,P Q1PFPQ，则椭圆的离心率为 ；1PFPQ题型八题型八.

9、.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用例 1.椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标 22 143xyP270xyP例 2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；22sincos1xy0y题型九题型九. .直线与椭圆的关系（直线与椭圆的关系（1 1）直线与椭圆的位置关系）直线与椭圆的位置关系例 1. 当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？m: l yxm22916144xy例 2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的22222xya0a ( 1,1)A (2,3)Ba取值范围。例 3.过点作直线 与椭圆相交于两点，为坐标原点，)0 , 3(Pl223412xy,A BO求面积的最大值

10、及此时直线倾斜角的正切值。OAB例 4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围cossin2xy2236xy。 (0)龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 6 页（二）弦长问题（二）弦长问题例 1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为 1 的直线22212xyAxA被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。3134A；(2,0)A例 2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，221axby1xy,A BCAB若，为坐标原点，的斜率为，求的值。22|ABOOC22, a b例 3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若1204522 yx1F2FO,A B的面积是 20，求直线方程。2A

11、BF（三）弦所在直线方程（三）弦所在直线方程例 1.已知椭圆，过点能否作直线 与椭圆相交所成弦的中点恰好是；22 1164xy(2,0)PlP龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 7 页例 2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，224936xy,A BAB(1,1)M求直线的方程；AB例 3. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线 与椭EOx32e( 1,0)C l圆相交于两点，且 C 分有向线段的比为 2.E,A BAB（1）用直线 的斜率表示的面积；l(0)k k OAB（2）当的面积最大时，求椭圆 E 的方程OAB解：（1）设椭圆的方程为，由，a2=3b2E1

12、2222 by ax2 3cea故椭圆方程；22233xyb设，由于点分有向线段的比为 21122( ,), (,)A x yB xy( 1,0)C AB，即 0321322121yyxx 2121 2) 1(21yyxx由消去 y 整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0 ) 1(33222xkybyx由直线 l 与椭圆 E 相交于两点1122( ,), (,)A x yB xy13331360)23)(13(4362222122212224kbkxxkkxxbkkk而 122222211333| 2| (1)|1|22222OABSyyyyyk xkx由得:，代入得：.2

13、22131xk 23|(0)31OABkSkk龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 8 页（2）因,23|333 13122 33|OABkSkkk当且仅当取得最大值,33kOABS此时，又，；121xx 12213xx 121,2xx 将及代入得 3b2=5，椭圆方程12,x x21 3k 2235xy例 4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，11022( ,), (1,),(,)A x yByC xy22 143xyF且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。,AFBFCFAC（四）关于直线对称问题四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两

14、个不同的点关于直线22 143xym对称； 4yxm例 2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于 6，离心率，试问是否存在直y322e线 ，使 与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直ll,A BAB21x线 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。l题型十题型十. .最值问题最值问题龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong第 9 页例 1若，为椭圆的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求( 2, 3)P 2F1162522 yx的最大值和最小值。2MPMF分析：欲求的最大值和最小值2MPMF可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆的左焦点。212MFaMF1F解：，连接，延长交椭圆于点 M1,延长交椭212MPMFMPaMF1PF1PF1FP圆于点由三角形三边关系知2M111PFMPMFPF当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。M1MM2M因为，所以, ；1210,2aPF2max()12MPMF2min()8MPMF结论结论 1：设椭圆：设椭圆的左右焦点分别