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1、工程弹塑性力学,浙江大学 建筑工程学院,第八章 理想刚塑性的平面应变问题,第八章 理想刚塑性的平面应变问题,8.1 平面应变问题的基本方程 8.2 特征线和滑移线 8.3 滑移线的性质 8.4 塑性区的边界条件 8.5 典型的滑移线场 8.6 滑移线场的数值求解 8.7 楔体的单边受压 8.8 刚性压模的冲压问题 8.9 圆形切口板条的极限拉力 8.10 板条的抽拉拉-定常塑性流动问题,8.1 平面应变问题的基本方程,滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf和Budiansky在1949年提出的。由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。滑移线理论在塑性力学中占有很
2、重要的地位，一直得到较快的发展。除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。 应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。,8.1 平面应变问题的基本方程,物体的各点位移发生在xoy平
3、面内：,(8.1),(8.2),(8.3),应变分量为:,8.1 平面应变问题的基本方程,理想刚塑性材料的总应变分量：,(8.4),(8.5),忽略弹性变形,流动速度场,应变率张量,8.1 平面应变问题的基本方程,采用Mises屈服条件与其相关连的流动法则：,(8.6),(8.7),中间主应力,刚塑性情况的LevyMises关系:,8.1 平面应变问题的基本方程,考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：,(8.8),注意到：,(8.9),塑性区：,刚性区：,(8.10),8.1 平面应变问题的基本方程,又考虑到：,故有：,因此Tresca屈服条件表示为：,Tresca：,Mises：,在塑性区
4、由5个方程求5个未知量,8.1 平面应变问题的基本方程,有速度边界条件的求解问题：,(8.11),(8.12),不可压缩条件：,LevyMises关系：,若采用Tresca屈服条件，在刚塑性平面应变条件下，其表达式与Mises屈服条件相同。,8.1 平面应变问题的基本方程,基本方程 在物体中出现两个区域，塑性区和刚性区。 （1）刚性区 应变率场等于零， 应力场满足平衡方程和力边界条件，不违背屈服条件，可以不唯一。 （2）塑性区内 平衡方程：（不考虑体积力） 几何方程,8.1 平面应变问题的基本方程,屈服条件（Mises和Tresca） 本构方程 边界条件间断条件 求解过程（分两种情况） （1）
5、只有应力边界 使用平衡方程、屈服条件及边界条件解出应力分量x、y、xy。 不需要考虑几何方程，这说明该问题是静定的。 （2）部分边界由速度给定。 利用本构方程、几何方程及消去应变率和d，得,8.1 平面应变问题的基本方程,不可压缩条件 因为刚性区的具体应力分量求不出来，所以上述解不能称为真实解。 如果不能校核刚性区的应力是否违反屈服条件，那么对应于上述解的极限荷载最多只能算是真实极限荷载的上限。,8.1 平面应变问题的基本方程,间断条件,对于应力场，作用与反作用定律要求：间断线上的应力矢量应连续， (n)+= (n) 连续，其余分量可以间断 对于速度场，连续性条件要求：法向分量应连续，切线分量
6、可以间断，塑性区可相对于刚性区作相对滑动，即：,8.1 平面应变问题的基本方程,在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：,(8.13),交界线两侧都是塑性区的情形：,两侧应力间断值,8.2 特征线和滑移线,理想刚塑性体破坏 一旦塑性区形成，就会产生无限制的塑性流动， 试验表明：塑性流动破坏往往沿最大剪应力方向。 滑移线： 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线 有两族，且相互正交，一族称为，一族称为 沿两个正交的滑移线方向取微单元体，每个面上的剪应力为k。正应力应为 (x+y)/2= ，即等于平均应力,8.2 特征线和滑移线,(8.14),一、应力状态分析,塑性区内任一点的应
7、力可写成:,若x,y方向为主方向,8.2 特征线和滑移线,(8.15),一、应力状态分析,(8.16),n,tx,y,(8.17),X方向是主应力方向,8.2 特征线和滑移线,一、应力状态分析,(8.17),任一点的应力状态由静水应力与纯剪应力叠加而成。,在与主应力1成角的方向上：,(8.18),(8.19),8.2 特征线和滑移线,材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均正应力和等斜面上剪应力表出。因为斜面上的平均正应力是不影响屈服的，因此材料是沿斜面剪应力方向发生剪切屈服破坏。在平面应变问题中，连续材料质点的剪应力最大值即各质点等斜面剪应力轨迹线或滑移线。如果能在平面内描出
8、塑性变形滑移线。也表示沿这些线上的剪应力等于屈服剪应力，而与之对应的面上正应力即为平均应力。,8.2 特征线和滑移线,二、滑移线,(8.19),(8.20),代入,双曲线方程,取活动坐标Os1s2，s1表示沿的L切线方向，s2为沿的L法线方向,(8.21),平衡方程：,8.2 特征线和滑移线,特征线方法:,（在XY平面内,线L给定了函数、）,方程组的解为:,(8.20),8.2 特征线和滑移线,特征线方法:,若D=0,则方程没有唯一解,表明已知L线一侧导数,若无其他条件,就不能求出L线另一侧的导数,具有这种性质的曲线叫做特征线。,若D0,则方程有唯一解。,当最大剪应力max=(1-3)/2=
9、k时，材料进入塑性流动状态。塑性应变状态下的应变增量是一个纯剪变形，材料沿最大剪应力线滑动，所以最大剪应力线（、线）又叫滑移线。,8.2 特征线和滑移线,如坐标轴s1,s2与滑移线的切线重合:,(8.22),(8.23),积分,(8.24),写成改变量形式,Hencky方程,8.2 特征线和滑移线,三、沿滑移线上的速度方程式,(8.25),(8.26),沿特征线的正应变率等于零，没有伸缩。,8.2 特征线和滑移线,三、沿滑移线上的速度方程式,(8.27),图 8.4 速度的坐标变换,或,(8.28),8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,(1)、沿着滑移线的压力变化与滑移线和X
10、轴所成的角度变化成比例， 滑移线的方向变化得愈大，即(ab)愈大，平均应力的变化也就愈大。,8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,(8.29),(2)、如果由一条滑移线l转到另一条滑移线2 ，则沿任何一个族的滑移线而变化的角和压力的改变值将保持常数。,沿族滑移线,沿族滑移线,8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,(8.30),(8.31),同理:,(8.32),如果1线沿任意线转到2线,同样可得:,Hencky第一定理,(8.29)(8.32)表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系,8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,(3)、假定滑移线
11、网格中各点的坐标(x，y)，值均为已知，则只要知道滑移线网格中任何一点的值，就可定出场内各处的值。,沿1线:,沿1线:,同理，滑移线场内任何点的值均可求出。,8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,设线的线段是直线,如果在某些区域中两族滑移线是直线,则在这种区域中的应力是均匀分布的,并且参数C , C是常数。,(4)、如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的，C，C，以及应力分量 x，y， xy都是常数。,8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,(5)、如果族(或族)滑移线的某一线段是直线，则被族(或族)滑移线所切截的所有(或)线的相应线段皆是直线。,设AB为直
12、线,说明AB亦为直线,8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,(6)、若沿着某一滑移线移动，则这时在交叉点处的另外一族滑移线的曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。,曲率半径:,(8.33),8.3 滑移线的性质,根据H.Hencky的研究得出,(8.34),性质2和为常数,(8.35),Hencky第二定理,如果塑性状态扩张的足够远，曲率半径最后必须变为零。,8.4 塑性区的边界条件,(8.36),一、用、表示的应力边界条件,将x轴取在n轴方向上,给定n,nt,值,(8.37),(8.38),平均应力的间断值:,8.4 塑性区的边界条件,二、符号的选择方法,给定n，n=-nt后
13、,、 的取值需要从整体运动状态来进行判断。,例:,在右边界上n= 1, n=0,取m=0,若:AB边拉力BC边拉力,8.4 塑性区的边界条件,三、刚塑性交界线,一根滑移线或滑移线的包络线,若:不计刚体位移:,交界线要发生速度间断,8.5 典型的滑移线场,一、均匀应力的滑移场,OAB及OCD区域:,滑移线与边界成45,区域内，都是常数,二、简单应力滑移场,OBC区域:,紧接着均匀应力区的塑性区;,和均匀应力场连接处应力导数发生跳跃;,点O处的是不确定的。,8.5 典型的滑移线场,三、轴对称应力滑移场,8.5 典型的滑移线场,三、轴对称应力滑移场,在极坐标(r,)中r=0,以r=f()表示滑移线轨
14、迹,积分得:,(8.39),边界上r=R处的角,在r时,沿线取+号,例:,图中A点:,沿线:,积分:,8.7 楔体的单边受压,一、作出滑移场，定出 、 线,问：当p(x)等于多大时，达到塑性极限荷载(即允许以vy向下滑动)。这个问题在研究边坡的稳定性问题时有意义。,OAB区域，OCD区域是均匀应力场,OBC区域是退化黎曼问题，是中心场,OB线是线，AB线是线,二、求出各点的应力值及确定塑性极限荷载ps,在OA边：,沿BC线：,从点B到点C：,在OD边：,(8.47),8.7 楔体的单边受压,三、求速度分布，并校核(8.6)式中的是否不小于零,在OD边：,沿线：,在ABCD线上，法向速度要和刚性
15、区连续，故沿ABCD(线)v0。因此，求区域ABCD内的速度分布是一个解速度场的第三边值问题。,ABCD边,整个塑性区,沿线：,OD边,8.7 楔体的单边受压,三、求速度分布，并校核(8.6)式中的是否不小于零,(8.48),成立的条件,(8.49),表明:左边的质点比右边的下滑得快,四、校核刚性区的条件,8.8 刚性压模的冲压问题,(8.50),不考虑压模与介质之间的摩擦,极限荷载:,总压力:,(8.51),速度场:,8.8 刚性压模的冲压问题,不考虑压模与介质之间的摩擦,塑性区比图(8.20)小,OA边上：,BCA区域的速度场：,两个完全解的滑移场的大小可以不同，而在两者都是塑性区的地方应力分布是相同的，对应的极限荷载也相同，但速度场有差别。,
