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1、第八章 FIR数字滤波器的设计Chapter 8 Designs of FIR Digital Filter,中国地质大学(北京)地球物理与信息技术学院,作业第八章P172 习题1，2，3第九章P197 习题1，2,本章导航,8.1 数字滤波器设计的基本概念8.2 用窗函数法设计线性相位FIR 滤波器原理8.3 各种常见窗函数8.4 频率采样设计法,8.1 数字滤波器设计的基本概念8.1 Basic Concepts of Digital Filter Design,误差相对指标,绝对指标,图8-1 低通滤波器的绝对技术指标,相对指标,图8-2 低通滤波器的相对技术指标,设计思路,FIR滤波器
2、的单位冲激响应h(n)是有限长的(0nM)，其频率响应为,(8-1),1.FIR数字滤波器有几个设计和实现方面的优势,2.线性相位响应的优点,8.2 用窗函数法设计线性相位FIR滤波器原理8.2 Theory of Design Linear Phase FIR Filter using Window Function,假设hd(n)是一个理想频率选择滤波器的单位冲激响应，滤波器具有线性相位，其频率响应为,将Hd(e j)进行傅氏反变换导出hd(n),(8-2),FIR滤波器要求h(n)必须是有限长的，要用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，最有效的方法是截取hd(n)中的主要成分，即用
3、一个有限长的“窗函数”序列w(n)来截取hd(n),w(n)与hd(n)在时域内作点积运算，W(e j)和Hd(e j)在频域内作卷积运算，其结果是：W(e j)平滑了Hd(e j)。,(8-3),具有矩形幅度特性的理想低通滤波器W(e j)和Hd(e j)的卷积过程,在通带| c范围内，Hd(e j)的幅度为1，相位是 ，利用式(8-2)，得,(8-4),图8-3 (a) 理想低通滤波器Hd()与hd(n)；(b) 矩形窗函数序列w(n)=RM+1(n)与WR(),按照线性相位滤波器的约束，要求h(n)必须是偶对称的，h(n)对称中心应为它的长度一半M/2，而且必须=M/2，所以有,将式(8
4、-4)代入式(8-5)，得,(8-6),(8-5),FIR滤波器的频率特性，即对h(n)进行傅氏变换，根据式(8-3) 知，在时域是相乘关系，在频域内呈周期性卷积运算，即,如果窗函数w(n)是矩形窗RM+1(n)时，那么频谱为,(8-8),(8-7),可以将WR(e j)表示成幅度函数与相位函数,WR(e j)为频域采样内插函数，其幅度函数WR()在2/(M+1) 2/(M+1)内有一个主瓣，两侧形成许多衰减振荡的旁瓣，如图8-3所示，WR()是周期函数。,(8-10),(8-9),其中,将理想频率响应也写成,其幅度函数为,把式(8-9)和式(8-11)代入式(8-7)，便得到所设计的FIR滤
5、波器的频率响应H(e j)为,(8-12),(8-11),(8-13),FIR数字滤波器的幅度函数H()为,式(8-15)的卷积过程可用图8-4来说明,(8-15),(8-14),如取,图8-4 Hd()与WR()的卷积过程,缩略图,图8-4 上半部复原图（ad）,图8-4 下半部复原图（ef）,1.H()在零频率处，H(0)应该是图8-4中(a)与(b)两函数乘积的积分，在-c到c一段内Hd()=1，H(0)值就是WR()的积分面积，如图8-4 (c)所示。2.H()在c处的响应H(c)，如图8-4 (d)所示，所以H(c)/H(0)0.5。3.H()在c2/(M+1)处的幅度响应H(c2/
6、(M+1)，如图8-4 (e)所示，频响出现正肩峰。4.H()在c+2/(M+1)处的响应H(c+2/(M+1)，如图8-4 ( f )所示，出现负的肩峰。5.当c+2/(M+1)时，H()将围绕着零值而波动。当从c2/(M+1)向通带内减小时，WR()的右旁瓣将进入Hd()的通带，右旁瓣的起伏造成H()值将围绕H(0)值而摆动，卷积得到的H()可见图8-4 (g)所示。,在时域对序列hd(n)进行截取，在频域内对理想频率特性Hd()产生以下几点影响：(1) 使理想频率特性Hd()在不连续点处的边缘展宽，在两个肩峰之间形成一个近似过渡带，带的宽度W4/(M+1)；(2) 在截止频率c的两边c2
7、/(M+1)处，H()出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡；(3) 增加截取长度(M+1)，不能改变振荡的幅度，窗函数的频率响应为,(8-16),在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95，当(M+1)增加时，2/(M+1)减小，故起伏振荡变密，但最大肩峰则总是8.95，这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应，如图8-5所示。,图8-5 矩形窗截断的吉布斯现象(a) M+1=11；(b) M+1=31；(c) M+1=51；(d) M+1=101,8.3 各种常见窗函数8.3 Each Common Window Function,矩形窗,根据式(8-15)所设计的滤波器的真正的幅度响应为,利
8、用最小阻带衰减，可将滤波器的过渡带准确计算出来，即 sp=1.8/(M+1)这大约是理论近似带宽W4/(M+1)的一半。,图8-6 矩形窗 (a) M+1=47；(b) 振幅响应(dB)； (c) 振幅响应；(d) 累加振幅响应H()(dB),Bartlett 窗,窗函数频谱为,“”在M 1时成立。,(8-18),(8-17),图8-7 Bartlett窗 (a) M+1=47；(b) 振幅响应(dB)；(c) 振幅响应；(d) 累加振幅响应H()(dB),Hanning 窗,利用傅氏变换的调制特性，即,(8-19),可得,(8-20),图8-8 Hanning窗 (a) M+1=47；(b)
9、 振幅响应(dB)；(c) 振幅响应；(d) 累加振幅响应H()(dB),窗函数频谱的幅度函数为,与矩形窗相比，式(8-21)的右端，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，见图 8-9。,(8-21),当2时，上面的第二个式子就是Hanning窗。,(8-22),图 8-9 Hanning 窗谱形成过程,Hamming 窗,海明窗是下面一类窗的特例(0.54时)：,其频率响应的幅度函数为,(8-24),(8-25),(8-23),图8-10 Hamming窗 (a) M+1=47；(b) 振幅响应(dB)；(c) 振幅响应；(d) 累加振幅响应H()(dB),Blackman 窗,此时主瓣宽度为矩
10、形窗函数频谱主瓣宽度的三倍，即为12/(M+1)。,其频谱的幅度函数为,(8-27),(8-26),图8-11 Blackman窗 (a) M+1=47；(b) 振幅响应(dB)；(c) 振幅响应；(d) 累加振幅响应H()(dB),Kaiser 窗,由公式(8-28)看出，Kaiser窗函数是以nM/2为对称中心呈偶对称的，即,w(n)w(Mn),(8-28),从中点nM/2向两边变化时，w(n)逐渐减小，两端点为,如果已知p、s、Rp、As，那么标准过渡带带宽为： =sp滤波器的阶数：,图8-12 Kaiser窗 (a) M+1=47， =5.658；(b) 振幅响应(dB)；(c) 振幅
11、响应；(d) 累加振幅响应H()(dB),表 8-1 Kaiser窗参数对滤波器的性能的影响,表 82 五种窗函数基本参数的比较,窗函数的设计步骤(1)根据要求来确定频率响应函数Hd(e j)；(2)利用式(8-2)求hd(n)F 1Hd(e j)；(3)由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，利用表6-2、表6-3，可选定窗的形状及(M+1)的大小；(4)计算h(n)hd(n)w(n)，n0，1，M，便得到所设计的FIR滤波器。,当Hd(e j)很复杂或不能依据式(8-2)直接积分计算hd(n)时，将积分限分成N段，也就是令采样频率为,当hd(n) 是无限长序列，必须N时，hN(n)才能等于hd(n
12、)而不产生混叠现象，即,(8-29),(8-30),(8-31),例 8-1 设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定采样频率为fs=15kHz，通带截止频率为fp=1.5kHz，阻带截止频率为fst2.25kHz，阻带衰减不小于50dB。幅度特性如图 8-13(b)所示。解：(1) 先求相对应的数字频率：,通带截止频率为,阻带截止频率为,阻带衰减相当于 As=50dB,(2) 若Hd(ej)为理想线性相位滤波器,理想低通滤波器的数字截止频率c近似为, =M/2,(3) 根据阻带衰减As来确定窗形状，由表 8-2可选Hamming窗，其阻带最小衰减53dB，满足As=50dB的要求。数字频域过渡
13、带宽为,而Hamming窗过渡带宽满足, =M/2=33,(4) 根据Hamming窗表达式w(n)确定FIR滤波器的h(n)。Hamming窗为,(5)其结果见图 8-13，由该图(d)可见，已设计出的滤波器阻带第一个旁瓣小于50dB，满足设计要求。,图 8-13 例 8-1设计出的线性相位低通滤波器(a) 理想冲激响应hd(n)；(b) 振幅频率特性；(c) 设计出的冲激响应h(n)；(d) 振幅频率特性(dB)；(e) 设计出的低通滤波器H()；(f ) Hamming窗M+1=67,例 8-2 设计一个线性相位FIR带通滤波器，给定采样频率为fs=15kHz，通带下边缘截止频率为fp1
14、=2.625kHz fp2=4.875kHz，下阻带截止频率为fst11.5kHz，上阻带截止频率为fst26kHz，阻带衰减不小于60dB。幅度特性如图 8-14(b)所示。解：(1)求各对应的数字频率：,下阻带截止频率,通带下边缘截止频率,通带上边缘截止频率为,上阻带截止频率为,阻带衰减相当于 As=60dB(2) 若Hd(ej)为理想线性相位滤波器，,则理想带通滤波器可以根据两个幅值相等而截止频率不同的理想低通滤波器形成，截止频率分别近似为,其中 为线性相位所必须的移位，应满足 =M/2。,(3) 根据阻带衰减As来确定窗形状，根据表 8-2可选Blackman窗，其阻带最小衰减74dB
15、满足As=60dB的要求。数字频域过渡带宽为,而Blackman窗过渡带宽满足, =M/2=37,(4) 根据Blackman表达式w(n)确定FIR滤波器的h(n)。,其结果见图 8-14，由该图(d)可见，已设计出的滤波器阻带第一个旁瓣小于60dB，满足设计要求。,图 8-14 例 8-2设计出的线性相位带通滤波器 理想冲激响应hd(n)；(b) 振幅频率特性；(c) 设计出的冲激响应h(n)；(d) 振幅频率特性(dB)；,8.4 频率采样设计法8.4 Design Method of Sampling Frequency,直接设计法,理想频率响应Hd(e j)，在0到2之间进行等间隔采样，即,滤波器频率特性的采样值H(k),(8-32),得到一个N1阶FIR滤波器，即,频域采样理论中X(z)的内插公式,
