《主讲人孙云龙 07》由会员分享，可在线阅读，更多相关《主讲人孙云龙 07（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七讲 层次分析法,Email:,数学实验,与,数学建模,层次分析模型,问题提出: 人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方向；科研人员要选择科研课题 人们在选择时，最困难的就是在众多方案中都不是十全十美的,往往这方面很好，其它方面就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好些，就成为首要问题了。,例1 旅游地选择,某家庭预备“五一”出游，手上有三个旅游点的资料。 P1 景色优美，但是一个旅游热点，住宿条件不十分好, 费用也较高； P2 交通方便，住宿
2、条件很好，价钱也不贵，只是旅游景点很一般； P3 旅游景点不错，住宿、花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢?,在这个问题中，首先有一个目标旅游其次是选择方案的标准景点好坏、交通是否方便、费用高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。,基本原理,层次分析法（AHP）是一种决策分析的方法。 定性、定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。 20世纪70年代，美国数学家T.L.Saaty等人创立 基本步骤： 确定层次 递节层次结构最上层 目标层中间层 准则层最下层 方案层,构造两两比较矩阵,定性 量化: 两两比较,某层 n 个元素,上层元素,取元素 Ci, Cj 比较 量化 aij Ci,
3、 Cj 对 O 的权重,比较下层元素对上层元素的影响,比较尺度: aij 1 同等 3 稍强 5 强 7 很强 9 绝对强中间值 2 4 6 8 且 aji=1/aji,两两比较矩阵,A=(aij)nn 也称为正互反矩阵。,如例1 建立层次分析模型： 第二层对第一层进行 C52=10 次比较 例: P1:P2=3 P2:P4=2 另: 可推得: P1:P4=6但: P1:P4=5说明什么?,这一点称为比较判断矩阵的不一致性,理论分析,i与j比较,j与k比较,i与j比较,A=(aij)nn : aij ajk = aik, 一致性矩阵,一致性指标-允许范围,否,aij ajk aik,计算权重向
4、量,由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重, 并进行判断矩阵的一致性检验 若元素 C1, C2, Cn对 O 的重要性量化比较权重 令其为 ( w1, w2, , wn ) 则: 比较矩阵为,A=(aij)nn : aijajkaik,计算权重向量( w1, w2, , wn ),? 一致的 特点: R(A) = 1 , = n任意列向量对应于 n 的特征向量 W即： AW = n W 特征值、向量定义 于是得: 计算权向量方法,计算权向量方法,特征根法 求 A 的最大正特征根 求 A 的对应于 的特征向量 ( w1, w2, , wn ) 注: 线性代数 第五章 Maple命令:,计算
5、权向量方法,近似算法：和法 将 A 的每一列向量归一化,c,将 bij 按行求和得,将 ci 归一化得 W = ( w1, w2, , wn ),最大特征值,如例1,得: =4.0155, W=9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641T,当 A 不一致时, n 记 A=A + ,则由 AW = W 或 AW + W = mW+( -n)W 即: 当( -n)很小时, A与A 的不一致误差很小 于是有: 一致性指标 CI= ( -n)/(n-1) 随机一致性指标 RI 表,一致性检验,一致性比率 CR=CI/RI 当 CR 0.1 时, 通过一致性检
6、验,如例1,特征向量归一化得：WA= 0.4966, 0.1914, 0.2120, 0.0998T 一致性检验CIA= ( -n)/(n-1) =0.0155/3=0.00775；RIA = 0.9CRA= CI/RI = 0.00517/0.9=0.005741通过一致性检验 即: 此家庭对 景 吃 费 行的权重为 0.4966, 0.1914, 0.2120, 0.0998,得: =4.0155, W=9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641T,组合权向量,计算各层元素对于系统目标的总排序权重,并进行排序,组合权向量: 底层 顶层,权,W(2
7、),W1(3), W2(3) Wn(3),W(3),方案对决策的权重,求组合权向量方法,用第i层归一化的排序向量对下层排序向量平均数得到第i+1层对i1层的组合权向量 2层对1层: W(2) 归一化 3层对2层: W1(3), W2(3) Wn(3)矩阵 X(3) = (W1(3), W2(3) Wn(3) 则: 3层对1层组合权向量为W(3) = X(3) W(2),组合一致性检验,用第i层归一化的排序向量对下层一致性指标取平均数得到第i+1层对i1层的一致指标CIi+1和RIi+1及CRi+1，再加上第i层该用元素对上层的相对一致性指标得到组合一致性。2层对1层: CR(2) = CI(2
8、) /RI(2)3层对2层: CI1(3),CI2(3),CIn(3); RI1(3),RI2(3),RIn(3) 令: CI (3)= (CI1(3),CI2(3),CIn(3) W(2)RI (3)= (RI1(3),RI2(3),RIn(3) W(2) 一致性比率 CR (3) = CR(2)+(CI (3)/ RI (3) 一致性检验 CR (3) 1,如例1 解： 两两比较矩阵,特征值特征向量分别为： =3.002，W1=5.903867500, 0.8066923031, 3.086293726T =3.080，W2=0.0846216595,0.4466019878,0.6734
9、288503T =3.094，W3=0.09138978270, 0.3366828382, 0.4961400716T =3.065，W4=3.658853431, 8.514030366, 0.943422178T =4.0155, WA=9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641T,特征向量归一化得：,W1(3) =0.6028,0.08236,0.3151TW2(3) =0.07023,0.3706,0.5589TW3(3) =0.09888,0.3643,0.5368TW4(3) =0.2791,0.6494,0.07196TW(2) =
10、0.4966, 0.1914, 0.2120, 0.0998T组合权向量：W (3) = (W1(3), W2(3)，W3(3) ，W4(3) W(2) = 0.4966W1(3) +0.1914W2(3) +0.212W3(3) +0.0998W4(3) = .3617, .2538, .3845T,一致性检验：,CI1=0.002/2=0.001; CI2=0.04; CI3=0.047; CI4=0.0325CR1=0.001/0.58=0.0017; CR2=0.069; CR3=0.081; CR4=0.056;CIA=0.0155/3=0.00775；CRA=0.00517/0.9
11、=0.00574 相对一致性指标均0.1，通过一致性检验。 组合一致性： CI (3)= (CI1(3),CI2(3),CIn(3) W(2)RI (3)= (RI1(3),RI2(3),RIn(3) W(2)一致性比率 CR (3) = CR(2)+(CI (3)/ RI (3) CI(3)=0.4966CIA1+0.1914CIA2+0.212CIA3+0.0998CIA4=0.02137 CR(3)=CR(2)+CI(3)/RI(3)=0.0086+0.2137/0.59=0.0086+0.0368=0.04540.1 通过一致性检验.,答案,组合权向量 W (3) = .3617, .
12、2538, .3845T A、B、C三个旅游点相对旅游目标来说 综合打分结果是：P3 点为首选，P1 次之，P2 点应予以淘汰。,Mathematic Modeling,小结:,建立层次结构 用比例尺度构造对比矩阵A=(aij)nn 计算权向量(特征向量法), , ( w1, w2, , wn )并做一致性检验CI= ( -n)/(n-1), RI, CR=CI/RI 0.1 计算组合权向量,W(3) =(W1(3), W2(3) Wn(3)W(2)做组合一致性检验CR (3) = CR(2)+(CI (3)/ RI (3) 决策,模型,给足球队排 序,例2 工作选择,设一位大学生毕业后，有五
13、个不错的单位可供选择。 第一个单位收入稳定，与所学专业一致，但是人地生疏，并且据了解论资排辈情况较严重； 第二个与专业有一定的距离，要胜任工作必须再学习工资要看三个月后情况，是一个朋友介绍的； 第三个单位不大，极需他 (她) 所学专业人才，目前工资不高，经了解该单位正在开发一种新产品，如果成功，发展潜力很大； 第四个有许多父母亲戚的老关系做领导，工资不高但有保证，但必须完全放弃所学专业； 第五个最适合所学专业，但竞争激烈，要求每年都有新的业绩，工资与业绩挂钩，如果连续两年每有新业绩，则解除合同。 试选择前，用对各单位作一个层次分析。,解:,目标：工作选择； 准则：A1收入，A2专业发展， A3
14、人际关系，A4个人未来； 方案：Bi第i单位。,判断矩阵,1=5.05, w=.416, .137, .0825, .227, .137, CI=0.0125, CR=0.01120.1 2=5.20, w=.103, .0525, .326, .030, .492, CI = 0.08, CR = 0.060.1,第3层对第2层,3=5.0711,w=0.071,0.186,0.071,0.596,0.071, CI =0.018, CR=0.016 4=5.0873,w=0.0393,0.0848,0.481,0.198,0.198,CI=0.022, CR=0.019,2层相对1层的判断矩阵：,g= 4.104,w = 0.325, 0.0666, 0.148, 0.461 CI = 0.035, CR = 0.039 综合排序：W=.170, .115, .281, .255, .179 组合一致性：CI3=0.0222,CR3=0.039+CI3/0.9=0.0640.1 排序结论： 首选3、4两单位，1、5次之，最后再考虑2。,推广应用,领域 环境 国家, 学校实力 毕业择业 不完全层次结构 优缺点,再见,
