北航金融计量学第二章

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1、1,第二章 回归模型及应用,2.1 数据和模型 2.2 线性回归模型的参数估计和统计检验 2.3 不满足古典假设时的计量经济问题 2.4 虚拟变量与模型的稳定性问题 2.5 离散因变量模型 2.6 面板数据模型,2,2.1 数据和模型,时间序列数据 一定时间范围内，按时间先后排列的一批统计数据。 横截面数据 一批发生在同一时间截面上的调查数据。 面板数据 兼有时间序列数据和横截面数据的数据。,3,2.2 线性回归模型的参数估计和统计检验,一元线性回归模型:,式中：Y因变量(被解释变量)分析或预测的变量；X自变量(解释变量)与因变量密切关系的变量； 总体参数 : 0 , 1 ；随机误差 : ,回

2、归分析描述一个随机变量如何随着其他随机变量的变化而变化。,4,矩阵表示的最小二乘法,（如果X有线性独立列） 通过QR分解求解.,5,b的期望值,所以，b是 的无偏估计值。,6,b的协方差,7,b的协方差,对一元线性回归:,8,的估计,这里：分母是n-2，因为有两个参数是要被确定的（ 和 ）。,9,和 的统计推断,10,平方和,总平方和（TSS）=残差平方和（ESS）=回归平方和（RSS）=以上三部分的自由度分别为T -1，T-K-1和K。 其中，T为样本数，K为自变量数。,11,判定系数（ ）,被X的回归所解释的y的方差占y总方差的比例越接近1越好,12,回归/偏回归系数检验-t检验,一元回归

3、：多元回归： ，自由度T-K-1反映自变量X与因变量Y之间是否存在关系。回归/偏回归系数是否意义，是否为零；对应的自变量是否有意义。,13,回归方程的检验-方差分析法,一元线性回归：H0: 2 =0 H1: 2 0 多元线性回归： H0: 1= 2= m=0 H1: 1， 2， m中至少有一个不等于零 方差分析的结论是线性回归方程是否显著，是否有意义。,14,常数项（截距）的检验- t检验,检验常数项（截距）是否为零 一元线性回归：自由度T2,H0: =0 H1: 0,15,多元线性回归：H0: 0=0 H1: 00自由度T-K-1,16,计量经济学的古典假定,模型 , 满足古典假设： （1）

4、随机误差项的均值为0，即E(t)=0； （2）同方差，即var(t)=2； （3）随机误差项之间无自相关，即对于任意tj有cov(j, t)=0； （4）自变量Xj(j=2, 3, , K)之间不存在多重共线性，设X为解释变量Xj(j= 2, 3, , K)的观测值矩阵。X为nK阶数值矩阵，则rk(X)=K，KT。 （5）解释变量同随机项t不相关，即 cov(Xjt, t)=0，(j= 2, 3, , K)。,2.3 不满足古典假设时的计量经济问题,17,2.3.1 异方差问题,定义：若如果古典假设的其他条件满足，惟有：var(t)2, t 1，2，T不成立，则有，即随机误差项的方差不再是常数

5、，而是互不相同，则认为出现了异方差问题。,18,异方差的类型:,同方差性假定的意义是指每个t围绕其零平均值的变差，并不随解释变量X的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个t的方差保持相同，即t2 =常数在异方差的情况下， t2已不是常数，它随X的变化而变化，即t2 =f(Xt),19,异方差一般可归结为三种类型：,（1）单调递增型： t2随X的增大而增大； （2）单调递减型： t2随X的增大而减小; （3）复 杂 型： t2与X的变化呈复杂形式。,Back,20,异方差产生的原因,1、学习误差模型。人们随着学习的进展，它们的特定行为的误差也随之减少。,21,2、有关收入的模型。随着可支

6、配收入的增加，人们选择的余地较大，这就会产生异方差性。注意，异方差性经常出现在横截面资料中，在时间序列资料中比较少见。,22,图示：,a.等方差性 b.异方差性,23,异方差性的后果,在同方差下，在异方差下，,不妨假定：,24,异方差性的后果,对于大多数经济资料，有：故 虽然无偏，但不具有最小方差！,25,对回归结果的影响,存在异方差，回归结果无偏，但不具有最小方差性！ T 检验失效只有在同方差的假定下，t检验方被证明是服从t分布的。如果不满足这个假定，t检验失去意义。 降低预测的精度由于在异方差下，差数的OLS估计的方差增大，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预

7、测的精度。,26,异方差性的检验,一、图示法对于异方差检验，可以画 XY 散点图；或e2X 散点图； e2 散点图。,27,散点图图示,28,White检验,对多元线性回归,设定原假设为,备择假设为“H1：存在异方差”。,29,White检验,第一步：用OLS对原模型进行回归，得到残差的估计值 ；第二步：对模型 用OLS得到判别系数R2。因 ，在一定显著性水平下，如果 ，则拒绝原假设，认为存在异方差现象。,30,异方差的解决方法,加权最小二乘法（weighted least squares）广义最小二乘法（generalized least squares）,31,加权最小二乘法 （Weigh

8、ted Least Squares）,基本思想 最小二乘法的基本原则是使残差平方和最小。 在同方差的假定下，OLS的运用是每个残差平方有相同的权数（权数为1），也就是在最优化过程中，对各点的残差平方所提供信息的重要程度是一样看待的； 在异方差的假定下，由于不同的解释变量使残差偏离均值的离散程度不一样，这样应该对不同的残差平方和赋予不同的权重。,32,加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。 例如，在递增异方差下，对来自较小 的子样本，其真实的总体方差较小， 与回归线拟合值之间的残差 的信度较大，应予以重视; 而对较大 的子样本，由于

9、真实总体的方差较大，残差反映的信息应打折扣。,详细说明,33,加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和实施OLS法：对较小的残差平方 赋予较大的权数，对较大的残差平方 赋予较小的权数。,34,加权最小二乘法具体步骤,35,例如,设原模型为 随机误差项 具有异方差性，即 不再是常数，而随X的变化而变化。其中 为常数， 为解释变量 的函数。,36,当 时， 为同方差； 当 时， 为异方差。用 去乘原模型的两端，得变换后的模型： 记 ，则 具有同方差性。因为,37,所以，可以对新模型应用OLS方法，得到 ， 。 注意：1、若 未知，一般假设 或 。2、变换后的模型，拟合优度会变小，这是对样本值加权的

10、结果。3、异方差如果是由于略去重要解释变量引起的，盲目应用WLS方法消除异方差，其参数估计值仍可能是不妥的。应该将重要的解释变量列入模型。,38,在实际建模过程中，尤其是截面数据作样本时，人们通常并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。,39,广义最小二乘法 （Generalized Least Squares）,概念：先对原模型进行变换，使变换后的模型满足假定，然后对变换后的模型应用OLS方法，叫GLS方法。 普通最小二乘法和加权最小二乘法都是它的特

11、例。,40,GLS方法的应用,普通最小二乘法（OLS）要求计量模型的随机误差项相互独立或序列不相关。如果在序列相关的情况下，仍使用OLS方法估计模型参数，会产生以下后果：1、参数估计量不再有效；2、变量的显著性检验失效；3、模型的预测失效。广义最小二乘法(GLS)就是一种处理序列相关的方法。,41,对于模型用矩阵形式表示为: Y=XB+N 如果存在自相关，同时存在异方差，即有：,不符合经典回归模型的基本假设！,42,如何得到矩阵？,通常是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计值，以此构成矩阵的估计量，即,43,设 用 左乘式Y=XB+N两边，得到一个新的模型：即 该新模型具有

12、同方差性和随机误差项互相独立性。因为（ 为单位矩阵）,44,于是可以通过普通最小二乘法估计新模型，得到参数估计量为这就是原模型的广义最小二乘法估计量，是无偏的，有效的估计量。,45,通常，人们并不对原模型进行异方差性检验和自相关性检验，而是直接选择广义最小二乘法。如果确实存在异方差性和自相关性，则被有效的消除了；如果不存在，则广义最小二乘法等价于普通最小二乘法。,46,2.3.2 序列相关问题,定义序列相关是指随机扰动项序列相邻期之间存在相关关系 存在序列相关的随机扰动项不是独立的。自相关主要表现在时间序列中。数学表达式为：因随机误差项服从均值为0的正态分布，所以序列相关性可以表示为：,47,

13、一阶序列相关可表示为：可以证明随机误差项的协方差矩阵为：,48,自相关产生的原因,1、经济惯性由于经济发展存在一定的趋势，形成惯性，许多经济变量前后期总是相互关联的，相邻观察值之间或多或少有一定的联系。例：消费支出对收入的时间序列分析中，当期消费支出除依赖收入等变量外，还依赖前期的消费支出，即：2、遗漏有关变量3、数据处理,49,自相关的后果,1、参数OLS的估计的方差增大，不再具有最优性质。以一元回归的参数估计值为例：,50,51,在经济问题中的自相关，大多是正自相关，0；且一般经济变量X的时间序列也大多为正自相关。这样，当随机项自相关时，参数OLS估计量的方差较无自相关时增大。2、参数显著

14、性t检验及回归方程显著性F检验失效由于参数 OLS估计量的方差增大，标准差也增大，在参数显著性检验时，实际计算的t统计量变小，从而接受H。假设（b1=0）的可能性增大，这表明拒绝估计值 的机会就大大增加，t检验失效。同理F检验也失效。,52,3、降低预测精度区间预测与参数估计量的方差有关。由于参数估计量的方差估计有偏，必然使预测区间估计不准确，预测精度降低。,53,自相关的检验,1、图示法残差et可作为随机项t的估计。如果随机项序列t存在自相关，必然会由残差序列et 反映出来。故可以利用残差序列来判断t的自相关性。,54,两种不同的散点图均可判断自相关性.2、杜宾一瓦特森（DurbinWats

15、on）检验DurbinWatson检验，简称DW检验，它仅限于一阶自回归形式。,55,这种检验的方法如下。提出原假设H0 : =0, 随机扰动项不具有一阶自相关；备择假设： ，则随机扰动项具有一阶自相关。 为检验原假设，构造DW统计量，记作DW或d,56,57,58,Breusch-Godfrey检验,Breusch-Godfrey检验适用于检验模型随机误差项是否存在高阶序列相关现象，即假定误差项有如下的q阶自回归模式产生的：其中q可事先自行选定。,59,第一步：用OLS对原模型进行回归，得到残差的估计值 ；第二步：用模型中所有的解释变量及事先选定的q阶残差滞后值对上一步得到的残差估计值进行OLS回归，即：得出R2，可以证明 ，若则拒绝原假设，即存在自相关。,