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1、1.离散型,2.连续型,3.Y= g（X）,4.Z=g（X，Y）,下页,数学期望定义(复习),数学期望性质(复习),性质1 E（C）= C (C为常数),性质2 E（CX）= C E（X） (C为常数),性质3 E（X+Y）= E（X）+E（Y）,性质4 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）= E（X）E（Y）,特别 E（E（X）= E（X）,下页,4.2 方 差,0. 方差概念的引入,随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.,引例1：从甲、乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸如下：甲：8，9，10，11，12；
2、乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm, 问那一台车床好？,以X甲 ，X乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度.易得：E(X甲) =E(X乙)10。虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有显著 差异，甲加工的零件只有件合格，乙加工全合格.,考虑 E(|X-E(X)|)E(X-E(X)2,下页,引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？,解：,=9.2(环),=9.2(环),因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击水平的稳定性是有差别的。,这表明乙的射击水平
3、比较稳定.,下页,偏离期望平方的期望,定义 设X是随机变量，如果EXE(X)2存在，则称EXE（X）2为X的方差，记为D(X)即,1. 方差的概念,并称 为X的标准差或均方差记为(X) 。,D(X)=EXE（X）2,其中PX=xk=pk k=1,2,3,.,连续型随机变量,离散型随机变量,2.方差的计算,下页,= E（X2）- E（X）2,3. 方差计算公式,公式,证明：,D（X）= EX - E（X）2,= EX2 - 2XE（X）+ E（X）2,= E（X2）- 2E（X）E（X）+ E（X）2,例1设随机变量 X（0-1）分布，其概率分布为PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1
4、，求D（X）,解：因 E（X）= p， 而 E（X 2）= 12p + 02q = p,于是 D（X）= E（X 2）- E（X）2 = p - p2 = p q。,下页,例2设随机变量X具有概率密度,求D(X).,所以,解：,下页,4. 常见分布的期望与方差,1) 0 -1分布 概率分布为,E（X）= 1 p + 0 (1-p) = p,2) 二项分布 设随机变量XB（n，p），其概率分布为:,D（X）= E(X2)-E(X)2= p-p2 = p(1-p) = pq,下页,2) 二项分布 设随机变量XB（n，p），其概率分布为:,D（X）=E（X2）- E（X）2,所以 D（X）=E（X2
5、）- E（X）2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq,下页,4. 常见分布的期望与方差,3) 泊松分布 设随机变量X（），其概率分布为：,，k = 0,1,2,3,0,下页,4. 常见分布的期望与方差,3) 泊松分布 设随机变量X（），其概率分布为：,，k = 0,1,2,3,0,D（X）=E（X2）- E（X）2,因此, D（X）= E（X2）- E（X）2 =2 +-2 =,下页,4) 均匀分布 设X Ua,b 概率密度为：,4. 常见分布的期望与方差,下页,5) 指数分布 设X E() 概率密度为：,4. 常见分布的期望与方差,故，,下页,，（x+),令,6) 正态
6、分布 设XN（,2）概率密度为：,4. 常见分布的期望与方差,下页,，（x+),6) 正态分布 设XN（,2）概率密度为：,4. 常见分布的期望与方差,下页,5. 方差的性质,性质1 D（C）= 0,性质2 D（CX）= C 2 D（X）,性质3 D（X+C）= D（X），D（aX+b）= a2 D（X）,性质4 若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D（X+Y）= D（X）+D（Y）,性质5 D（X）= 0 的充要条件是P X = E（X） =1,推广 若X1,X2,Xn相互独立，则D(X1+X2+Xn) =,方差的性质 （下设a，b，C均为常数）,下页,证明：(2) D(CX) = E C
7、X - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X),(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X),而 EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y),= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y),由于 X,Y相互独立，故有 E(XY)= E(X)E(Y),从而有 EXE(X)YE(Y)= 0,(4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2= EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2
8、EX-E(X)Y-E(Y)= D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y),，于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y),练习：若X，Y相互独立，证明 D（X-Y）= D（X）+D（Y）。,下页,D（X）=D（X1+X2+Xn）,令,i=1,2,n,显然 Xi 均服从（0-1）分布, 即 E（Xi）= p, D(Xi) = pq（i =1，2，n）,且 X1，X2，Xn相互独立。,于是 E（X）= E（X1+X2+Xn）,= E（X1）+E（X2）+E（Xn）= np,=D（X1）+D（X2）+D（Xn）= npq,解：,则 X= X1+X2+Xn,（注意：以上是新方法的立意和核心！）,
9、例3在 n 重贝努里试验中，用 X 表示 n 次试验中事件A 发生的次数，记P(A)= p，求E(X)，D(X) 本题旨在给出一种新的解题方法,下页,例4.,解：,下页,因为,从而,下页,小 结,D（X）=EX-E（X）2,1.方差的定义与计算,3.常见分布的期望与方差,2.D(X)的性质(),下页,练习,1.设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率 为0.4则 E(X2)=( ),2.随机变量X服从参数为的指数分布，则 E(X+e-2X)= ( ).,3.随机变量X与Y独立，且XN（1，2），YN（0，1）,则 Z=2X-Y+3的期望与方差分别为（ ）,二、单选题,一、填空
10、题,设X和Y是两个随机变量，则下式正确的是（ ）,三、计算题*,设有n个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为1,2,3,，n 将n个球随机地放入n个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子 编号相同的小球数的数学期望,下页,作业： 98页 8, 9, 10, 11,12,结束,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.,4.4 协方差和相关系数,下页,任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), Covariance 定义为, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y
11、), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定义,下页,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,下页,若X1,X2, ,Xn两两独立,，上式化为,D(X+Y)= D(X)+D
12、(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,下页,二、相关系数,为随机变量X和Y的相关系数 .,在不致引起混淆时，记 为 .,下页,例1.,求Cov(X,Y) ,XY,解：,E(X) = 2 , E(Y) = 2；,E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2,D(X) =1/2 , D(Y) = 1/2,E(XY) =,Cov(X,Y) = 23/6 4 = - 1/6 ;, ,1/4,1/2,1/4,1）相关系数的计算,下页,例2. 设随机变量X的方差D( X )且Y=aX+b(a), 求X和Y的相关系数XY .,解：,下页,2. X和Y独立时， =0，但其逆
13、不真.,由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,请看下例.,2）相关系数的性质及其与独立性的关系,下页,例3. 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos (X)，求X，Y的相关系数.,因而 =0，,即X和Y不相关 .,但Y与X有严格的函数关系，,即X和Y不独立 .,解：不难求得 Cov(X,Y)=0.,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,下页,但对下述情形，独立与不相关等价,显然，若X与Y独立，则X与Y不相关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,下页,例4设（X，Y）服从二维正态分布，求X，Y的相关系数.,解：X，Y的联合密度f(x,y)及
14、边缘密度 fX(x), fY(y) 如下：,下页,例5(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关也不相互独立.,因fX(x)fY(y)f(x,y)，故X与Y不相互独立.,证明：(1) 因为,同样 E（Y）=0,于是 XY= 0 ，所以 X与Y不相关。,(2),下页,4.5 矩和协方差矩阵,设X是随机变量，若,称它为X的k阶原点矩.,称它为X的k阶中心矩.,显然，期望是X的一阶原点矩， 方差是X的二阶中心矩.,下页,协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.,称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.,称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.,可见，,下页,协方差矩阵的定义,将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,下页,类似定义n维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵,称矩阵,下页,例6.,解：,下页,下页,从而,下页,作业： 98页 13，14，15, 16, 17 , 18,结束,
