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1、1、（本小题满分 14 分）已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与 的大小；（3）求证：（）2、设函数，其中为常数（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（）当且时，求证：3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线 交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线 过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.二、计算题（每空？ 分，共？ 分）4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数
2、若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立（）求函数的表达式；（）求证： 5、已知函数：（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？(3)求证： 评卷人得分6、已知函数=，.()求函数在区间上的值域；（）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值
3、；（）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由8、已知函数：讨论函数的单调性；若函数的图象在点处的切线的倾斜角为 45o，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求 m 的取值范围；求证： 9、已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；（2）若正方形唯一确定，试求出的值 10、已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求 a，b 的值；（II）如果当 x0，且时，求 k 的取值范围 11、设函数f(x)=x2+b ln(x
4、+1),其中b0.()当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式 ln)都成立.12、如图 7，椭圆的离心率为，x 轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。（）求，的方程；（）设与 y 轴的焦点为 M，过坐标原点 O 的直线与相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与相交与 D,E.(i)证明：MDME;(ii)记MAB,MDE 的面积分别是,.问：是否存在直线 l,使得=?请说明理由。13、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程；(2)直线 过点 F 且与曲线 C 交于
5、不同两点A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上)，分别过 A、B 点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点 F 与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线 C：，则使等式成立的的值仍保持不变请给出 你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，满足：直线，分别交直线于，两点（1）求曲线弧的方程；（2）求的最小值（用表示）；（3）曲
6、线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由15、设、是函数的两个极值点(1)若，求函数的解析式；(2)若，求的最大值(3)若，且，求证：16、 已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围 17、已知函数（1）若曲线处的切线平行，求 a 的值；（2）求的单调区间；（3）设是否存在实数 a，对均成立；若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。 18、已知函数图象的对称中心为，且的极小值为.（1）求的解析式；（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，当时，使函数在定义域a,b 上的值域恰为a,b，若存在，求出
7、k的范围；若不存在，说明理由. 19、已知函数（1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；（2）如果函数的图像与 x 轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）20、已知函数f(x)axx2xlna(a0，a1)（1）当a1 时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；（2）若函数y|f(x)t|1 有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围21、已知函数处取得极小值，其图象过点 A（0，1），且在点A 处切线的斜率为1。()求的解析式；（）设函数上的值域也是，则称区间为函数的“保值区间”。证明：当不存在“保
8、值区间”； 22、已知函数（1）求证函数上的单调递增；（2）函数有三个零点，求 t 的值；（3）对恒成立，求 a 的取值范围。23、已知函数，其中（）若函数上有极值，求的取值范围；（）若函数有最大值（其中为无理数，约为 271828）,求的值；（）若函数有极大值,求的值。 24、已知函数。（1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：25、已知函数,，其中R（）讨论的单调性；（）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（）设函数,当时，若，总有成立，求实数的取值范围 26、 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设 m0，
9、求在m，2m上的最大值；（3）试证明：对任意N+，不等式恒成立 27、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：；（3）设，求证：. 28、已知二次函数对都满足且，设函数（，）（）求的表达式；（）若，使成立，求实数的取值范围； （）设，求证：对于，恒有. 29、已知函数 不等式求实数的取值范围；（3）若函数30、已知函数（）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 31、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3求实数的值；若，且对任意恒成立，求的最大值
10、；当时，证明 32、已知函数在点的切线方程为.（）求函数的解析式；（）设，求证：在上恒成立；（）已知，求证：. 33、已知（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图象与轴交于两点，AB中点为，求证：参考答案一、综合题1、解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2 分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4 分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5 分（2）当时，定义域为令，在上是增函数 7 分当时，即；当时，即；当时，即 9 分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， 12 分 14 分
11、(法二)当时，即时命题成立 10 分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立13 分因此，由数学归纳法可知不等式成立 14 分（法三）如图，根据定积分的定义，得11 分， 12 分，又， 14 分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 2、解：（1）由题意知，的定义域为，当时， ，函数在定义域上单调递增 （2）由（）得，当时，函数无极值点 时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点 当时，有两个不同解，时，,此时 ，随在定
12、义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii) 当时，00,因为直线 OD 的方程为,所以由得交点 G 的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线 的方程为,即有,令得,y=0,与实数 k 无关,所以直线 过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的中垂线上,由（i）知点 G(,所以点 B(,又因为直线 过定点(-1,0),所以直线 的斜率为，又因为，所以解得或 6，又因为,所以舍去,即，此时 k=1，m=1，E，AB 的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综
13、上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为. 二、计算题4、（）解：由已知得： 1 分由为偶函数，得为偶函数，显然有 2 分又，所以，即 3 分又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立 4 分显然，当时，不符合题意 5 分当时，应满足注意到 ，解得 7 分所以 8 分（）证明：因为，所以9 分要证不等式成立,即证 10 分因为, 12 分所以所以成立 14 分 5、解：（1） (1 分),当时，的单调增区间为，减区间为；2 分当时，的单调增区间为，减区间为；3 分当时，不是单调函数4 分（2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为，所以，所以， 6 分， .7 分要使函数在区间上总
14、存在极值，所以只需， ks5u9 分 解得10 分令此时，所以，由知在上单调递增，当时，即，对一切成立，12 分 ，则有，14 分 6、 解：() 在区间上单调递增，在区间上单调递减,且的值域为 3 分（）令，则由()可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数 5 分当时, ,.s 在区间上递减，不合题意 当时, ,在区间上单调递增，不合题意当时, ,在区间上单调递减，不合题意当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于 0 而由可得，则综上，满足条件的不存在。8 分（）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率
