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1、运算能力运算能力 课程标准（课程标准（20112011 年版）年版）中，对各学段的运算提出了明确的要求。其中中，对各学段的运算提出了明确的要求。其中 第三学段：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代第三学段：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代 数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问 题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的 方法。方法。 运算不仅是数学课程中运
2、算不仅是数学课程中“数与代数数与代数”的重要内容，的重要内容，“图形与几何图形与几何”“”“统计统计 与概率与概率”“”“综合与实践综合与实践”也都与运算有着密切的联系。也都与运算有着密切的联系。 一、对运算能力的认识一、对运算能力的认识 根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果 的过程，称为运算。的过程，称为运算。 能按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。能按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。 不仅会根据法则、公式等正确的进行运算，而且理解运算的算理，能根据不仅会根据法则、公式等正确的进行运
3、算，而且理解运算的算理，能根据 题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。 运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等 的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算 条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理 简洁。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能简洁。换
4、言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能 力。力。 二、运算能力的特征二、运算能力的特征 运算能力的主要特征运算能力的主要特征正确、灵活、合理、简洁。正确、灵活、合理、简洁。 首先，要保证运算的正确，为此必须要正确理解相关的概念、法则、公式首先，要保证运算的正确，为此必须要正确理解相关的概念、法则、公式 和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据，和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据， 然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚的意识到实施运算中的算理。然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚的意识到实施运算中的算理。 不断总结正反两方面的经验和教训，逐步减少在实施运算
5、中思考概念、法则、不断总结正反两方面的经验和教训，逐步减少在实施运算中思考概念、法则、 公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，立力求避免错误。公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，立力求避免错误。 多题一解和一题多解在运算中十分普遍，即一般性与特殊性往往同时出现多题一解和一题多解在运算中十分普遍，即一般性与特殊性往往同时出现 在实施运算的过程中，多题一解体现了运算的普适性，一题多解体现了运算的在实施运算的过程中，多题一解体现了运算的普适性，一题多解体现了运算的 灵活性。二者的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越灵活性。二者的交替出现，相互比较，
6、循环往复，不断优化，促使学生越来越 感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理、简洁。感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理、简洁。 估算也是一种重要的运算技能，估算能力也是运算能力的特征之一，课标估算也是一种重要的运算技能，估算能力也是运算能力的特征之一，课标 在每一学段的学段目标和课程内容中，都强调了估算，并提出了具体的要求。在每一学段的学段目标和课程内容中，都强调了估算，并提出了具体的要求。 随意我们要充分重视估算。进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的随意我们要充分重视估算。进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的 依据，需要掌握一点的方法，积
7、累一定的经验，需要避免出现过大的误差，需依据，需要掌握一点的方法，积累一定的经验，需要避免出现过大的误差，需 要使估算结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。所以在涉及要使估算结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。所以在涉及 估算的教学中，时间不能压缩，学生的活动要充分。估算的教学中，时间不能压缩，学生的活动要充分。 三、运算能力的培养与发展三、运算能力的培养与发展 运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深 化，从简单到复杂、从具体到抽象，有层次的发展。化，从简单到复杂、从具体到抽象，
8、有层次的发展。 运算能力的培养与发展应贯穿于师生共同参与数学活动的全过程中，并体运算能力的培养与发展应贯穿于师生共同参与数学活动的全过程中，并体 现发展的适度性、层次性和阶段性。现发展的适度性、层次性和阶段性。 正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提。正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提。 原式能力的培养与发展不禁包括运算技能的逐步提高，还应包括运算思维的提原式能力的培养与发展不禁包括运算技能的逐步提高，还应包括运算思维的提 升和发展，要经历如下过程：升和发展，要经历如下过程： 1 1、由具体到抽象、由具体到抽象 第一学段：理解万以内的数，初步
9、认识小数和分数，初步学习整数的四则第一学段：理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则 运算，以及简单的分数和小数的加减运算；第二学段：认识万以上的数，进一运算，以及简单的分数和小数的加减运算；第二学段：认识万以上的数，进一 步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合 运算），了解并初步应用运算律；第三学段：掌握有理数的加、减、乘、除、运算），了解并初步应用运算律；第三学段：掌握有理数的加、减、乘、除、 乘方及简单的混合运算；掌握合并同类项和去括号的法则；进行简单的整个办乘方及简单的混合运
10、算；掌握合并同类项和去括号的法则；进行简单的整个办 公室加、减、乘运算；利用乘法公式进行简单计算；进行简单的分式加、减、公室加、减、乘运算；利用乘法公式进行简单计算；进行简单的分式加、减、 乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算，及简单乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算，及简单 的四则运算；解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程；掌握代入消的四则运算；解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程；掌握代入消 元法和加减消元法解二元一次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数字元法和加减消元法解二元一次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数
11、字 系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。 无论是学习和掌握数与式的运算，还是解方程和解不等式的运算，一开始无论是学习和掌握数与式的运算，还是解方程和解不等式的运算，一开始 总是和具体事物相联系的，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式、方程与不总是和具体事物相联系的，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式、方程与不 等式的运算。直至高中阶段进行更为抽象的符号运算，如集合的交、并、补等等式的运算。直至高中阶段进行更为抽象的符号运算，如集合的交、并、补等 运算，命题的或、且、非等运算。运算，命题的或、且、非等运算。7 7 运算思维的抽象程度，是运
12、算能力发展的运算思维的抽象程度，是运算能力发展的 主要特征之一。主要特征之一。 2 2、由法则到定理、由法则到定理 学习和掌握数与式的运算、解方程和捷豹但是的运算，在反复操练、相互学习和掌握数与式的运算、解方程和捷豹但是的运算，在反复操练、相互 交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎么算？怎么算？”“”“怎么算怎么算 的好？的好？”“”“为什么要这样算？为什么要这样算？”等一系列问题的思考。这是有法则到算理的思等一系列问题的思考。这是有法则到算理的思 考，是运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算发展的重要内容。考，是运算从操作的
13、层面提升到思维的层面，这是运算发展的重要内容。课课 程标准程标准规定了一系列与算理相关的内容。如在第三学段：除了规定了一系列与算理相关的内容。如在第三学段：除了“理解有理数理解有理数 的运算律，能运用运算律简化运算的运算律，能运用运算律简化运算”外，算理的内容好要求进一步强化，在学外，算理的内容好要求进一步强化，在学 习方程解法之前，要求习方程解法之前，要求“掌握等式的基本性质掌握等式的基本性质”；在学习不等式解法正确，要；在学习不等式解法正确，要 求求“探索不等式的基本性质探索不等式的基本性质”；为此；为此课程标准课程标准提供了例提供了例 5353：小丽去文具店：小丽去文具店 买铅笔和橡皮。
14、铅笔每只买铅笔和橡皮。铅笔每只 0.50.5 圆，橡皮每块圆，橡皮每块 0.40.4 元。小丽带了元。小丽带了 2 2 元钱，能买几元钱，能买几 只铅笔、几块橡皮？在此例中，不仅给出了详细的解题方案和过程，还指出：只铅笔、几块橡皮？在此例中，不仅给出了详细的解题方案和过程，还指出： 这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有 助于学生直观理解不等式，对于嘈杂声，这个问题是生活常识，但希望学生能助于学生直观理解不等式，对于嘈杂声，这个问题是生活常识，但希望学生能 通过这个例子学会用数学的思维分式看待生活
15、中的问题。在一元二次方程的内通过这个例子学会用数学的思维分式看待生活中的问题。在一元二次方程的内 容中，容中，课程标准课程标准不禁设置了不禁设置了“能用配方法、公式法、因式分解法解数字系能用配方法、公式法、因式分解法解数字系 数的一元二次方程数的一元二次方程”，而且增加了，而且增加了“会用一元二次方程根的判别式判别方程是会用一元二次方程根的判别式判别方程是 否有实根和两个实根是否相等否有实根和两个实根是否相等”“”“了解一元二次方程的根与系数的关系了解一元二次方程的根与系数的关系”等内等内 容，表面不禁要学习和掌握解一元二次方程的运算方法，更要思考和领悟解一容，表面不禁要学习和掌握解一元二次方
16、程的运算方法，更要思考和领悟解一 元二次方程的算理。元二次方程的算理。 3 3、由常量到变量、由常量到变量 函数在第三学段是重要的内容，函数概念的引入，运算对象从常量提升到函数在第三学段是重要的内容，函数概念的引入，运算对象从常量提升到 变量。运算的内容更加丰富多彩，变量。运算的内容更加丰富多彩，课程标准课程标准中不仅有：中不仅有：“能确定简单实际能确定简单实际 问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值”“”“会利用待定系数法确定一会利用待定系数法确定一 次函数的表达式次函数的表达式”“”“会用配方法将数字系数的二次函数的不等式化为顶点式，会用配方法将数字系数的二次函数的不等式化为顶点式， 并能由此得到二次函数图象的定点坐标并能由此得到二次函数图象的定点坐标”等直接进行运算的内容；还包括与运等直接进行运算的内容；还包括与运 算密切相关的内容，如算密切相关的内容，如“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”
