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1、 第一章第一章1 方程的导出。定解条件方程的导出。定解条件1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(txu xuExtuxt其中为杆的密度，为杨氏模量。E证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与x。现在计算这段杆在时刻 的相对伸长。在时刻 这段杆xxtt两端的坐标分别为：),();,(txxuxxtxux其相对伸长等于 ),(),(),(txxuxxtxuxtxxuxxx令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克0xxxu),(tx定律，张力等于),(tx
2、T),()(),(txuxEtxTx其中是在点的杨氏模量。)(xEx设杆的横截面面积为则作用在杆段两端),(xS),(xxx的力分别为xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx于是得运动方程 ttuxxsx )()(xESutx),(xxxxxESuxx| )(| )(利用微分中值定理，消去，再令得x0xttuxsx)()(xxESu()若常量，则得)(xs=22 )(tux)(xuxEx 即得所证。2在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条l
3、xx , 0件为. 0),(, 0), 0(tlutu(2)若为自由端，则杆在的张力lx lx |等于零，因此相应的边界条件为 |xuxEtlT)(),(lxxu =0 lx同理，若为自由端，则相应的边界条件为 0xxu 00x(3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某lx 点，且该点离开原来位置的偏移由函数给出，则在端)(tvlx 支承的伸长为。由虎克定律有)(),(tvtluxuE)(),(tvtluklx其中为支承的刚度系数。由此得边界条件k 其中)(uxu)(tflxEk特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件, 0)(tv。)(uxu0lx同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条
4、件0xxuE)(), 0(0tvtukx即 )(uxu).(0tfx3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 22 22)1 ()1(tu hx xu hx xE其中为圆锥的高(如图 1)h证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则x点处截面的半径 为：lhxl1所以截面积。利用第 1 题，得2)1 ()(hxxs)1 ()1 ()(2 22 2 xu hxExtu hxx若为常量，则得ExE)(22 22)1 ()1(tu hx xu hx xE4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为 ，弦的线密度为，则
5、点处的张lx力为)(xT)()(xlgxT且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表)(xTx),(txu示弦上各点在时刻 沿垂直于轴方向的位移，取弦段tx则弦段两端张力在轴方向的投影分别为),(xxxu)(sin)();(sin)(xxxxlgxxlg其中表示方向与轴的夹角)(x)(xTx又 .sinxutg于是得运动方程xuxxltux)(22 xuxlgxxgx利用微分中值定理，消去，再令得x0x。)(22xuxlxgtu 5. 验证 在锥 2221),( yxttyxu 0 中都满足波动方程222yxt证：函数222222yu xu tu 在锥0 内对变量 2221),( yxttyx
6、u 222yxt有tyx,二阶连续偏导数。且 tyxttu23 222)(225 22223 222 22 )(3)(tyxtyxt tu )2()(22223 222yxtyxtxyxtxu23 222)(225 22223 222 22 3xyxtyxt xu 22225 2222yxtyxt同理 22225 222 22 2yxtyxt yu 所以 .22222225 222 2222tuyxtyxt yuxu 即得所证。6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数
7、所满足的微分方程.解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为xxx,故上所受摩阻力为tubxxx, tuxxsxpb运动方程为: tuxxsxbxxuEStuES tuxxsxxx 22利用微分中值定理，消去,再令得x0x .22tuxsxbxuESxtuxsx 若常数，则得)(xs tuxbxuExtux 22若 则得方程令也是常量是常量,.,2 EaExEx.22 2 22xuatubtu 3 混合问题的分离变量法混合问题的分离变量法1.用分离变量法求下列问题的解：(1) 0),(), 0()0()1 (,3sin022 2 22tlu
8、tulxxxtu lxuxuatuott解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(tTxXtxu得固有函数，且xlnxXnsin)(，tlanBtlanAtTnnnsincos)()2 , 1(n于是 1sin)sincos(),(nnnxlntlanBtlanAtxu今由始值确定常数及，由始值得nAnB1sin3sinnnxlnAlx1sin)(nnxlnBlanxlx所以 当, 13A, 0nA3nlnxdxlnxlxanB0sin)(2 xlnxnlxln nlxlnxnllan cossincos22 222) 1(1 (4cos2sin24430333222 nl anlxln
9、 nlxln nxl 因此所求解为1443 sinsin) 1(143sin3cos),(nn xlntlan nalxltlatxu (2) 0)0 ,(,)0 ,(0),(0), 0(022 2 22xtuxlhxutltutuxuatu解：边界条件齐次的，令)()(),(tTxXtxu得： 0)(, 0)0(0 lXXXX(1)及 。)2(02 XaT求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。时，方程的通解为10xxeCeCxX21)(由得0)0(X021 cc由得0)( lX021lleCeC解以上方程组，得，故时得不到非01C02C0零解。时，方程的通解为20xccxX21)(由边
10、值得，再由得，仍0)0(X01c0)( lX02c得不到非零解。时，方程的通解为30xcxcxXsincos)(21由得，再由得 0)0(X01c0)( lX0cos2lc为了使，必须 ，于是02c0cosl2212lnn)2 , 1 , 0(n且相应地得到 xlnxXn212sin)()2 , 1 , 0(n将代入方程(2)，解得talnBtalnAtTnnn212sin212cos)()2 , 1 , 0(n于是 0212sin)212sin212cos(),(nnnxlntalnBtalnAtxu再由始值得 00212sin2120212sinnnnnxlnBalnxlnAxlh容易验证
11、构成区间上的正 xln212sin)2 , 1 , 0(n, 0l交函数系： nmlnm xdxlnxlml当当20212sin212sin0利用正交性，得 xln212sinxdxlnxlh lAln212sin20lxln nlxlnxnl lh022212sin) 12(2 212cos) 12(22 n nh) 1() 12(8220nB所以 022212sin212cos) 12() 1(8),(nn xlntaln nhtxu2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为0)0 ,()0 ,(sin),(, 0), 0(22 2 22xtuxutAtlutuxu
12、atu求解此问题。解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足txlAtxUsin),(),(txU，0), 0(tUtAtlUsin),(令代入原定解问题，则满足),(),(),(txvtxUtxu),(txv) 1 ()0 ,(0)0 ,(0),(, 0), 0(sin222 2 22xlAxtvxvtlvtvtxlA xvatv满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为),(txv， xlnxXnsin)()2 , 1 , 0(n故设 )2(sin)(),(1nnxlntTtxv将方程中非齐次项及初始条件中按txlAsin2 xlA展成级数，得 xlnsin12 sin)(sinnnxlntftxlA其中 lnxdxlntxlA ltf02 sinsin2)(l xln nlxlnxnltlA022222 sincossin2 xlAtnAnsin) 1(212xlnnnsin1其中 nlnn
