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1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义定义,(2.2.1),为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)绝对可和，即满足下式：,(2.2.2),FT反变换定义为：,(2.2.4),(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里
2、叶变换公式。 一些绝对不可和的序列（如周期序列），其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,【例2.2.1】 设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解,当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。,图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性在定义式(2.2.1)中，n取整数，下式成立：,M为整数 (2.2.6), 序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这样X(ej)可以展成傅里叶级数，(2.2.1)式就是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。,由于FT的周期性，一般 只分析或02之间的FT,2. 线性,则,设,式
3、中a, b为常数。 3. 时移与频移设X(e j) = FTx(n)，则：,(2.2.7),4. 对称性先了解共轭对称与共轭反对称以及它们的性质：定义：设序列xe(n)满足 xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。 共轭对称序列的性质：将xe(n)用其实部与虚部表示： xe(n) = xer(n)+jxei(n)两边 n 用 n 代替，并取共轭，得：x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),xer(n) = xer(-n) (2.2.11)xei(n) = -xei(-n) (2.2.12)共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。,共轭反对称序列的性质：将x0(n
4、) 用实部与虚部表示： xo(n) = xor(n)+jxoi(n)得：xor(n) = -xor(-n) (2.2.14)xoi(n) = xoi(-n) (2.2.15)共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。,定义：满足下式的序列称共轭反对称序列：xo(n) = -x*o(-n) (2.2.13),一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即：x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.16)xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出 将(2.2.16)式中的n用-n代替， 再取共轭得到：x*(-n) = xe(n)-xo(n) (2.2.17)比较两式， 得
5、 ：,在频域，函数X(ej)也有类似的概念和结论：X(ej) = Xe(ej)+Xo(ej) (2.2.20)共轭对称部分Xe(ej)和共轭反对称部分Xo(ej) 满足：Xe(ej) =X*e(e-j) (2.2.21)Xo(ej) = -X*o(e-j) (2.2.22)同样有下面公式：,FT的对称性(a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n) = xr(n) + jxi(n)进行FT，得：X(e j) = Xe(e j) + Xo(e j),式中,xr(n)和xi(n)都是实数序列。 Xe(ej) 具有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。 Xo(ej) 具有共轭反
6、对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。,结论： x(n) = xr(n) + jxi(n) X(e j) = Xe(e j) + Xo(e j),(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即：x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.25)由(2.2.18)式和(2.2.19)式：,将上面两式分别进行FT，得：FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)= ReX(ej)= XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej) -X*(ej)= jImX(ej)= jXI(ej)因此对(2.2.25)式进行FT得到： X(ej) = XR(ej)+jXI(ej) (
7、2.2.26),结论：x(n) = xe(n) + xo(n) X(ej) = XR(ej) + jXI(ej),利用FT的对称性，可得以下四个结论： （1） x(n)为实序列（xi(n)=0），得X(ej) = Xe(ej)为共轭对称函数，即 X(ej) = X*(e-j) （2） x(n)为实偶序列（ xi(n)=0且x(n)= x(-n)，x0(n)=0），得X(ej)为实偶函数，即 X(ej) = X(e-j) （3） x(n)为实奇序列（xi(n)=0且x(n)= -x(-n)，xe(n)=0），得X(ej)为纯虚奇对称函数，即 X(ej) = X*(e-j)=-X(e-j) （4）
8、 x(n)为实因果序列： x(n)= xe(n) +xo(n) ，,或：,x e(n)=1/2x(n)+ x(-n)x o(n)=1/2x(n) - x(-n),对实因果序列，只要知道XR(ej) ，就可求得x(n)，过程如下： 已知：XR(ej)=FTxe(n) xe(n) x(n) X(ej) 已知XI(ej)和 x(0) ： jXI(ej) xo(n) x(n) X(ej),对实因果序列：其傅里叶变换X(ej)的实部包含了X(ej)或x(n)的全部信息，即X(ej) 中有冗余信息。,例 2.2.3 x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。 解： x(
9、n) = xe(n)+xo(n),5. 时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32),定理说明， 两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对LTI系统，其输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT。因此求系统的输出信号，(1)可以在时域用卷积公式(1.3.7)；(2)可以在频域按照 (2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。,6. 频域卷积定理设y(n) = x(n)h(n)，则：,(2.2.33),定理说明，在时域两序列相乘，对应频域为卷积关系。,7. 帕斯维尔(Parseval)定理,定理说明，信号时域的总
10、能量等于频域的总能量。 这里频域总能量是指|X(e j)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。,(2.2.34),2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数设 是以N为周期的周期序列， 由于周期性， 可以展成傅里叶级数：,(2.3.1),式中ak是傅里叶级数的系数。,-k (2.3.3),令：,ak也是周期序列，周期为N。,(2.3.4),上式中 是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数，用DFS表示。,(2.3.4),两式构成一对DFS。,将周期序列分解成N次谐波：基波分量的频率是2/N， 幅度是 。第k次谐波频率为k=(2/N)
11、k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度为 。 所以：一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,例2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8，求DFS 。 解,其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。,图2.3.1 例2.3.1图,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式,设周期序列 以N为周期 ，其FT为：,(2.3.10),上式中的()为单位冲激函数 (n )表示单位脉冲序列。,由于 不满足绝对可和条件，因此对周期序列求FT时，要先计算 ，再计算X(e j) 。,表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,例
12、2.3.3 令 ，2/0为有理数，求其FT。 解： 将 用欧拉公式展开：,由(2.3.9)式，得其FT：, cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数， 强度为， 且以2为周期进行延拓， 如图所示。,(2.3.9),2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式定义如下：,t与(-,+),对连续信号和采样信号，它们的关系用下式(1.5.2) 描述：,和xa(t)的傅里叶变换之间的关系为：,时域离散信号x(n) 的一对傅里叶变换式为：,序列x(n)的FT-X(e j)与模拟信号xa(t)的FT-Xa(j)之间的关系为：,(2.4.7),结论
13、： 序列的FT和模拟信号的FT之间的关系，与采样信号和模拟信号的FT之间关系是一样的，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系为=T。,图2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,2.5 序列的Z变换,2.5.1 Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为,(2.5.2),模拟信号和系统中：,傅里叶变换进行频域分析,拉普拉氏变换是其推广，对信号进行复频域分析,时域离散信号和系统中：,序列的傅里叶变换进行频域分析,Z变换是其推广，对序列进行复频域分析,单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。,如不另外说明， 均用双边Z变
14、换 对信号进行分析和变换。,Z变换存在的条件是|X(z)|有界，即等号右边级数收敛：,X(z)存在的条件比X(ej)存在的条件宽得多，只要|x(n)|的增长速度小于z -n ，则ZTx(n)就存在。X(z)=ZTx(n)收敛域定义为使上式存在的|z|的取值域，一般收敛域用环状域表示：,图 2.5.1 Z变换的收敛域,Rx+ 和 Rx- 称为收敛半径Rx- 可以小到零， Rx+可以大到无穷大。 显然X(z)的收敛域与x(n)有关。,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：,零点-分子多项式P(z)的根，极点-分母多项式Q(z)的根。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，-收敛域由极点限定其边界。,
