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1、1图 1A BCD应用四点向量定理与斯坦纳定理解题应用四点向量定理与斯坦纳定理解题浙江省桐乡第二中学 范广法 314511 一、四点向量定理与斯坦纳定理对向量,有，从而,，ab2222ababa b()A2222 CACBBACA CB2222 CACDDACA CD.这样数量积仅用四2222 ()2 DACBBACDAC BDAC BCCDCA CBCA CD AC BD边形 ABCD 的四条边 AB, BC, CD,AD 的长度表示，向量夹角余弦值这类式子不再充斥在表达式中文1将“”称之为四点向量定理考虑到 ABC D 四点的顺序，笔者的22222ADBCABCDAC BD 记忆方法是数
2、量积等于.设直线所成的角为，则22222两外两内交叉交叉,AC BD(0)2，文2称“”为斯坦纳定2222|cos| |2| |AC BDADBCABCDACBDACBD 2222|cos2| |ADBCABCDACBD 理二、定理的应用1 求数量积例 1 在中，.若点满足，则 .ABC2,3,ABAC2 AB ACP2BPPC BCAP解析 由四点向量定理得,右边只有2222225 22ACPBABPCPBPCAP BC 不知. 即，又，从而，|,|PBPC22|()9BCACAB | 3BC 2BPPC | 2| 2BPPC.4AP BC 点评 由四点向量定理直接写出数量积的表达式，省去转
3、化成共点向量的数量积的麻烦，特别是试 题给出较多的线段长度的试题.变式 1 如图 1，在三棱锥中D-ABC中，已知AB=2，=-3. 设AC BD AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为 .c2 ab+ 1变式 2 在ABC 中，AB2，AC4，点 P 为线段 BC 的垂直平分线上的任意一点，则 .AP BC 2 判断直线是否垂直由四点向量定理或斯坦纳定理得：成立的充要条件是意即平面ACBD2222 ADBCABCD2图 3（或空间）四边形两对角线垂直等价于两组对边的平方和相等例 2（2012 年浙江高考）已知矩形 ABCD，AB1，BC将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的2直线进行翻折
4、，在翻折过程中，A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三直线“AC 与 BD” ， “AB 与 CD” ， “AD 与 BC”均不垂直解析 在矩形 ABCD 沿直线 BD 翻折过程中，四边及对角线的长度中只有在变化当没有折叠时AC最长，这时；当折叠时最短，这时（可由平面几何知识并结合图 2 推证） ，AC3AC180AC3 3AC从而对选项 A, ，显然直线 AC 与直线 BD333AC22221()12 AC BDADBCABCD不垂直；对选项 B, ,所以当时直线
5、AB 与直线2 222211()22 ACAB CDADBCACBD1ACCD 垂直，故选 B点评 此题是借折叠问题考查空间想象能力及逻辑推理能力的压轴题，难度较大但用四点向量定理则将垂直关系转化为数量积问题，这样就转化成计算问题，问题简单多了对于选项 A，我们可得到任意的四边形在沿对角线折叠过程中的一个不变量，即两对角线对应向量的数量积保持不变AC BD 变式 3 矩形 ABCD 中，AB2，BC4将ABD 沿矩形的对角线 BD 折起到的位置，在A BD空间四边形中,异面直线与所成角的最大值为( )A BCDA BCDA B C D 4 3 25 123 求两直线所成的角空间角能较好的集中考
6、查学生的空间想象能力(特别是与翻折问题结合在一起),也是历年来高考必考的热点与难点之一借助于四点向量定理、斯坦纳定理我们可以解决空间角（本文仅涉及两条异面直线所成的角、二面角）大小问题例 3（2015 年浙江高考）如图 3，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_解析 易求得，设直线 AN，CM 所成的角为，2 2,7ANCMNM(0)2 则2222|7cos|cos,|82| | AMNCACNMAN CMANCM图 23图 6点评 若用几何法，则要充分挖掘各线的位置及数量关系，添加辅助线，找到
7、平面角，然后再计算根据四点向量定理、斯坦纳定理仅要解决的长度即可，有效降低试题难度，比几何法,AN CM NM简单多了变式 4 在四棱锥 M-ABCD 中，MA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线 MB 与 AC 所成的角例 4（2016 年浙江高考）如图 4，已知平面四边形 ABCD，ABBC3， CD1 , AD，5沿直线 AC 将ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是_90ADC解析：由四点向量定理得：，即2222 22ADBCABCDAC BD 设与的夹角为(显然为锐角，即异面直线与2AC BD AC BD ACBD所成
8、角也是)，则，当|BD最小时，AC与BD所成角6 |cos2BD的余弦值最大.又即，所以在翻折过程中|BD的最小值为coscosACDACBACDACB (此时ACD 沿直线 AC 翻折)，的最大值为2BCCD180cos6 6点评 此题以四点向量定理、斯坦纳定理及上面提到的不变量（）为背景，考查了线2AC BD 线角，向量夹角及函数思想只要得到，与的函数关系立刻就显现出来，6 |cos2BD|BDcos的最大值就不攻自破与传统作辅助线方法相比，难度与计算量都下降了很多cos变式 5（2015 年 10 月浙江学考）如图 5，在菱形 ABCD 中，BAD=60，线段 AD，BD 的中点分别为
9、E，F现将ABD 沿对角线 BD 翻折，则异面直线 BE 与 CF 所成角的取值范围是（ ）A. B. (,)6 3 (,6 2 C. D. (,3 2 2(,)334 求二面角下面再来看看用四点向量定理如何求解二面角例 5（2015 年浙江高考）如图 6，已知ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将ACD 翻折成ACD，所成二面角 ACDB 的平面角为 ，则( )AADB BADB图 4图 54CACB DACB解析 如图 6，作 AFCD于F，BECD于E，D是AB的中点，故DEDF由题意得，, FA EB则,而222coscos,2DBDAA BA DBDA DB 22222 2EBEDA B ,从而2222coscos,2FBA EA BFEFA EB 22224 2EBDEA B 再考虑到余弦函数在上的单调性，选 Bcoscos ,A DB0,()A DB点评 关键是ADB 等于的夹角，平面角等于的夹角，然后再用四点向量定, DA DB, FA EB理解决两角余弦值的大小问题参考文献：1刘才华.如何应用四点向量定理J.数理天地(高中版)，2016（5）：5-7.2邓赞武.余弦定理的向量式及其应用J.数学通讯，2006（13）：17-18.
