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1、,一. 极限的性质与四则运算法则,ESC,1.3极限的性质与四则运算法则,二. 无穷小量与无穷大量,1.3 极限的性质与四则运算法则,四. 无穷小量的比较,三. 无穷小量的性质,一、极限的性质 定理1（唯一性）若极限,定理2（有界性）若极限 存在，则函数 在 某个空心 邻域内有界。,定理3（保号性）若 ， 则在 的 某空心邻域内恒有 。,若,且在 的某空心邻域内恒有 则,一. 极限的性质与四则运算法则,存在，则极限值唯一。,ESC,一. 极限的性质与四则运算法则,二、设 , , 则,.,(1)代数和的极限 存在, 且,(2)乘积的极限 存在, 且,.,.,特别地, 有(i) 常数因子 可提到极
2、限符号的前面, 即,(ii) 若 是正整数, 有,.,二、极限的四则 运算法则,ESC,设 , , 则,(3) 若 ,商的极限 存在, 且,.,要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！,一. 极限的性质与四则运算法则,ESC,和的极限 =极限的和,解 由极限的四则运算法则,原式,常数因子可提到 极限符号之前,.,由该题计算结果知，对多项式,有,一. 极限的性质与四则运算法则,ESC,不能直接用极限 的四则运算法则,解 显然, 分子与分母的极限都是0.,原式,应将分子分母分解 因式,约去极限为0 的公因子,商的极限 =极限的商,一. 极限的性质与四则运算法则,例3求 解：当 时，分子分母都是无
3、穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以 得到,分子分母同时除 以分母的最高次 项,一. 极限的性质与四则运算法则,例4 求 解：当 时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以 得到,分子分母同时除 以分母的最高次 项,一. 极限的性质与四则运算法则,一般地，当 时，有理分式（ ） 的极限有以下结果： 练习：求下列极限,一. 极限的性质与四则运算法则,ESC,一. 极限的性质与四则运算法则,解 原式,例6,解：原式,例5 求,ESC,一. 极限的性质与四则运算法则,例7,解： 原式,练习：求下列极限,ESC,一. 极限的性质与四则运算法则
4、,答案：,ESC,二. 无穷大量与无穷小量,定义1.5 若函数 在自变量 的某个变化过程 中以零为极限，则称在该变化过程中, 为无穷小量简称无穷小,例如，当 时， ， ， 是无穷小量；当 时， 是无穷小量；当 时， ， 是无穷小量,ESC,我们经常用希腊字母 ， ， 来表示无穷小量,定理4 函数 以 为极限的充分 必要条件是： 可以表示为 与一个无穷小量 之和即,其中 ,二. 无穷大量与无穷小量,ESC,二. 无穷大量与无穷小量,定义1.6 若在自变量 的某个变化过程程中,函数 是无穷小量,即 ，则称在该变化过程中， 为无穷大量，简称无穷大，记作,ESC,二. 无穷大量与无穷小量,例如，当 时
5、， 是无穷大量；当 时， ， 是无穷大量；当 时， ， 是无穷大量,当 时， 是无穷小量，而 是无穷大量；当 时， 是无穷大量，而 是无穷小量这说明无穷小量和无穷大量存在倒数关系,ESC,二. 无穷大量与无穷小量,例8 求 ,解 先求分母的极限,先考虑原来函数倒数的极限.,ESC,二. 无穷大量与无穷小量,即 是 时的无穷小由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到,ESC,三. 无穷小量的性质,性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量,性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量,性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量,性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量,ESC,例7 求 ,解 因为
6、 ，所以 是有界变量；,根据性质1.2，乘积 是无穷小量即,三. 无穷小量的性质,ESC,四. 无穷小量的比较,，,，,ESC,四. 无穷小量的比较,ESC,定义1.7 设 、 是同一变化过程中的两个无穷小量，,(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量也称 是比 低阶的无穷小量,(2)若 ( 是不等于零的常数)，则称 与 是同阶无穷小量若 ，则称 与 是等价无穷小量记为 。,四. 无穷小量的比较,ESC,思考：1.当 时 ， 相比哪一个是高阶无穷小？,2、当 时，无穷小 是否同阶？是否等价？,3.下列变量，在 趋于何值时是无穷小？ 在 趋于何值时是无穷大？,四. 无穷小量的比较,ESC,内容小结
7、,1. 极限四则运算法则（注意使用条件）,2. 求函数极限的方法,分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去零因子,时 , 对 型，分子分母同除以 分母的最高次幂,ESC,内容小结,（3） 无穷小量与无穷大量的关系,3. 无穷小量与无穷大量,（2） 无穷小量的性质,（1） 无穷小量与无穷大量的定义,4. 无穷小量的比较,ESC,课堂练习,1.求下列函数的极限,2.指出下列变量，当 时是无穷小：,3.指出下列变量，当 时是无穷大：,ESC,课堂练习,答案：,P17 习题1.2 1（2）(3)（4） (6)(7)(8),ESC,布置作业,2.(2)(3)(4)(7),
