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1、 8.1 数据拟合,本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合和逼近的概念.,对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点既不现实也不必要.,第8章 函数逼近与曲线拟合,本章讨论的函数逼近，是指“对函数类A中给定的
2、函数f(x)，记作f(x)A，要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x)B，使 p(x)与 f(x)的误差在某种度量意义下最小”. 函数类A通常是区间a, b上的连续函数，记作Ca, b，称为函数逼近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分段低次多项式等.为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.,数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。,例1 所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成实数域R上的线性空间-Rn,称为n维向量空间.,例2 对次数不超过n的（n为正整数）实系数多项式全体，按多项式加
3、法和数乘构成数域R上的多项式线性空间-Hn,称为多项式空间.,例3 所有定义在 a,b 集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成数域R上的连续函数线性空间 Ca, b,称为连续函数空间. 类似地记Cpa, b为具有p阶连续导数的函数空间.,则称x1,x2,xn 线性相关，否则称x1,x2,xn 线性无关，即只有当a1=a2=an=0时等式(1.1)才成立.,定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素x1,x2,xnS，如果存在不全为零的数a1,a2,anP，使得,则x1,xn称为空间S的一组基, 记为S=spanx1,xn,并称空间S为n维空间，系数a1,an为x在基x1,xn下的坐标，记
4、作(a1,an)，如果S中有无限多个线性无关元素x1,xn,，则称S为无限维线性空间.,若线性空间S是由n个线性无关元素x1,xn生成的，即对任意xS，都有,它由n+1个系数(a0, a1,an)唯一确定. 1,x,xn 线性无关，它是Hn的一组基，故集合Hn=span1, x,xn， 且(a0, a1,an)是p(x)的坐标向量，Hn是n+1维的.,下面考虑次数不超过n实系数多项式集合Hn，其元素p(x)Hn表示为,其中为任意给的小正数，即精度要求. 这就是下面著名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.,对连续函数f(x)Ca, b，它不能用有限个线性无关的函数表示，故Ca, b是无
5、限维的，但它的任一元素f(x)Ca, b均可用有限维的p(x)Hn逼近，使误差,在a, b上一致成立.,定理1 设f(x)Ca, b，则对任何0，总存在一个代数多项式p(x) ，使,由(1.1)式给出的Bn(f, x)也是f(x)在0, 1上的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.,更一般函数逼近的概念：,最常用的度量标准：,(一) 一致逼近,以函数f (x)和p (x)的最大误差：,作为度量误差 f (x) p (x) 的“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,(二) 平方逼近：,采用,作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。,8.2 正交
6、多项式,正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中也有不少应用。,定义 设有点集 xi i=0,1,m，函数 f (x) 和 g (x) 在离散意义下的内积定义为,(1),其中i0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x)的2-范数定义为,(2),有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。,离散点集上的正交多项式,若多项式组k(x)k=0,n 在离
7、散意义下的内积满足,(3),则称多项式组k(x)k=0,n为在离散点集 xi i=0,1,m上的带权 ii=0,m的正交多项式序列.,下面给出离散点上正交多项式的构造方法 .,给定点集xi i=0,1,m和权数 ii=0,m ，并且点集 xi i=0,1,m中至少有n+1个互异，则由下列三项递推公式,（4）,给出的多项式序列 是正交多项式序列，其中,（5）,三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。,例 已知点集 xi i=0,1,4 =0,0.25,0.5,0.75,1 和 权数 ii=0,4 =1,1,1,1,1.试用三项递推公式求关于该
8、点集的正交多项式,解 先令 P0(x)=1 ，由此得,由此得,从而有,连续区间上正交多项式,连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变 。,定义2.10 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为,（6）,其中的 (x)0为给定的权函数。按连续意义下的内积，若多项式组k(x)k=0,n 满足条件(6),则称它为在区间a,b 上的带权 (x)的正交多项式序列。,1权函数,定义1 设 (x)定义在有限或无限区间a, b上，如果有下列性质：,(1) (x) 0，对任意x a, b，,(2) 积分 存在，(n = 0, 1, 2, )，,(3)
9、 对非负的连续函数g (x) 若,则在(a, b)上g (x) 0,称 (x)为a, b上的权函数,连续区间上正交多项式,连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多 项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变 。,2内积,定义2 设f (x)，g (x) C a, b， (x)是a, b上的权函数，,则称,为 f (x) 与 g (x)在 a, b上以 (x)为权函数的内积。,内积的性质：,(1) (f, f )0，且 (f, f )=0 f = 0；,(2) (f, g) = (g, f )；,(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)；,(4) 对任意
10、实数k，(kf, g) = k (f, g )。,3正交,定义3 设 f (x)，g(x) C a, b 若,则称f (x)与g (x)在a, b上带权 (x)正交。,定义4 设在a, b上给定函数系k(x) ，若满足条件,则称函数系k (x)是a, b上带权 (x)的正交函数系。,若定义 4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x)为权的在a, b上的正交多项式系。并称pn(x)是a, b上带权 (x)的n次正交多项式。,特别地，当 Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。,事实上，,例 三角函数组,内的权函数为1的正交组。,正交多项式的三项递推公式:,是首项系数为1的i次多项式，则 满足
11、递推公式:,完全类似于离散情况下的正交多项式的构造方法,连续区间上的正交多项式序列同样可以由递推公式(4)和(5)构造,其中内积按(6)式定义.,下面给出几种常用的正交多项式.(1) 勒让德（Legendre）多项式.,正交多项式记为 ，由三项递推公式得,(7),给出.它们是在区间 -1,1上的带权 (x)=1的正交多项式.,它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根,并且与原点对称.,前几个Legendre多项式如下:,勒让德多项式的图形：,P0(x), P1(x), P2(x), P3(x),(2)第一类Chebyshev多项式.第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式,给出.它们是
12、在区间-1,1上的带权 的正交多项式.,(8),它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与原点对称。,前几个第一类Chebyshev多项式如下:,切比雪夫多项式的图形：,T0(x), T1(x), T2(x), T3(x),（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。Laguerre多项式可由三项递推公式,给出。它们是在区间0,+)上带权的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下:,它们的根都是在区间（0，+）上的单根。,设 是a, b上线性 无关的连续函数 ,a0, a1, , an 是任意实数，则,并称 是生成集合的 一个基底。,的全体是Ca, b的一个子集，记为,8.3最佳平方逼近,
13、定义 对于给定的函数,如果存在,使,则称S*(x)为f (x)在区间a, b上的最佳平方逼近函数。,函数的最佳平方逼近,即,求最佳平方逼近函数 的问题可归结为求它的系数 使多元函数,取得极小值。,I (a0, a1, ，an)是关于a0, a1, ，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，,(k = 0, 1, 2, , n),得方程组,如采用函数内积记号,方程组可以简写为,写成矩阵形式为,为法方程组 ！,由于0, 1, , n线性无关，故Gn 0， 于是上述方程组存在唯一解,从而肯定了函数f (x)在中如果存在最 佳平方逼近函数，则必是,记,称之为最佳平方逼近误差！,注：,最佳平方逼
14、近误差越小，说明函数空间Hn对 f(x)的逼近效果越好。,2018/10/16,40,例,定义内积 ，,试在函数空间 ，寻求对于函数,的最佳平方逼近函数 。,解,简单计算可得,法方程为,#,所以,例2 设 ，求0，1上的一次最佳平方逼近多项式。,解,由方程组 ，解出,平方误差,最大误差,一、 问题的提法,已知一个函数的数值表,求一个简单易算的近似函数 S(x) f (x) 。,8.4曲线拟合的最小二乘法,这时没必要使 S(xi) = yi , 而只要 S(xi) yi 总体上尽可能小。,常见做法：,使 最小,太复杂,使 最小,不可导， 求解困难,使 最小,定义 对于给定的函数,如果存在,使,达到最小。则把 称为 f(x) 的最小二乘的拟合曲线,求 的问题可归结为求它的系数a0, a1, , am 使多元函数,取得极小值。,Q (a0, a1, ，am)是关于a0, a1, ，am的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，,(k = 0, 1, 2, , m),
