高考数列求和例题分析,总结

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1、高考数列求和例题分析高考数列求和例题分析, ,总结总结篇一：详解数列求和的方法+典型例题1详解数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前 n 项和公式 Sn? n(a1?an)n(n?1)d ?na1? 22 2、等比数列的前 n 项和公式 ?na1(q?1)? Sn?a1(1?qn)a1?anq ?1?q?1?q(q?1)? 3、常用几个数列的求和公式 （1） 、Sn? n ?k?1?2?3?n? k?1n 1 n(n?1)

2、 2 1 n(n?1)(2n?1) 6 （2） 、Sn? ?k2?12?22?32?n2? k?1n （3） 、Sn? 133333 k?1?2?3?n?n(n?1)2 ?2k?1 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 an?bn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。 例 1：求数列nq n?1 (q 为常数)的前 n 项和。 解：、若 q=0， 则 Sn=0 、若 q=1，则 Sn?1?2?3?n?、若 q0 且 q1， 则 Sn?1?2q?3q?nq 2 n?1 1 n(n?1)2 qSn?q

3、?2q2?3q3?nqn 式式：(1?q)Sn?1?q?q2?q3?qn?1?nqn?Sn? 1 (1?q?q2?q3?qn?1?nqn) 1?q 11?qn (?nqn) ?Sn? 1?q1?q 1?qnnqn ?Sn?2 (1?q)1?q ? ?0(q?0)?1 综上所述：Sn?n(n?1)(q?1) ?2?1?qnnqn ?(q?0 且 q?1)?2 1?q?(1?q) 解析：数列nqn?1是由数列?n?与 qn?1 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减， （课本中的的等比数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的） ，但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

4、 ? 第三类：裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如： （1） 、an? 111 ? n(n?1)nn?1 (2n)2111 （2） 、an?1?(?) (2n?1)(2n?1)22n?12n?1 （3） 、an?（ 1111 ? n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2) 4 ） 、 an? n?212(n?1)?n1111 ?n?n?,则 S?1? nn?1nn n(n?1)2n(n?1)2n?2(n?1)2(n?1)2 2、根式

5、形式，如： an?1n?1?n ?n?1?n 例 2：求数列 1111， ， ， ，的前 n 项和 Sn 1?22?33?4n(n?1) 解： 111 =? n(n?1)nn?1 Sn?1? 111111? 2233nn?11 ?Sn?1? n?1 1111， ， ， ，的前 n 项和 Sn 1?32?43?5n(n?2) 例 3：求数列 解：由于： 1111 =(?） n(n?2)2nn?2 则：Sn? 1?11111?(1?)?(?)?(?)? 2?324nn?2? 1111 ?) ? Sn?(1? 22n?1n?2311 ? ? Sn? 42n?22n?4 解析：要先观察通项类型，在裂项

6、求和时候，尤其要注意：究竟是像例 2 一样剩下首尾两项，还是像例 3 一样剩下四项。 第四类：倒序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个(a1?an)。 例 4：若函数 f(x)对任意 x?R 都有 f(x)?f(1?x)?2。 （1）an?f(0)?f()?f()?f(证明你的结论； （2）求数列 1 n2nn?1 )?f(1)，数列an是等差数列吗？是 n 1 的的前 n 项和 Tn。 an?an?1 1n 2n n?1 )?f(1)（倒序相加） n 解：（1） 、an?f(0)?f()?f()?f

7、( n?1n?21)?f()?f()?f(0) nnn 1n?12n?2 1?0?1 nnnn ?an?f(1)?f( 则，由条件：对任意 x?R 都有 f(x)?f(1?x)?2。 2n?1）?2an?2?2?2?2?（ ?an?n?1?an?1?n?2 ?an?1?an?1 从而：数列an是 a1?2,d?1 的等差数列。 （2） 、 1111 ? an?an?1(n?1)(n?2)n?1n?21111? 2?33?44?5（n?1）?(n?2) ?Tn= 11111111n ? ?Tn=? 2334n?1n?22n?22n?4 n 故：Tn= 2n?4 解析：此类型关键是抓住数列中与首末

8、两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。 此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。 第五类：分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。 例 5：求数列 1n?1 +n?2的前 n 项和 Sn n(n?1) 解：令 an? 1 bn?n?2n?1 n(n?1) Sn?(a1?b1)?(a2?b2)?(a3?b3)?(an?bn) ?Sn?(a1?a2?a3?an)?(b1?b2?b3?bn) 111111?)?(1?2?2?3?22

9、?n?2n?1) 2233nn?11)?(1?2?2?3?22?n?2n?1) ?Sn?(1? n?1 ?Sn?(1? 令 Tn?1?2?2?3?22?n?2n?1 2Tn?2?2?22?3?23?n?2n 式式：(1?2)Tn?1?2?22?23?2n?1?n?2n ?Tn?(1?2?22?23?2n?1?n?2n) 1?2n ?n?2n) ?Tn?( 1?2 ?Tn?(n?1)?2n?1 11)?(n?1)?2n?1?2?(n?1)?2n n?1n?1 12n 例 6：求数列(x?n)的前 n 项和 Sn x12n 分析：将 an?(x?n)用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行

10、求解。 x121122n112nnn2n2n 解：an?(x?n)=(x)?2?x?n?(n)=x?2?2n=x?2?() xxxxx 111 Sn?x2?2?()2?x4?2?()4?x2n?2?()2n xxx 111 ?Sn? (x2?x4?x2n)?(2?2?2)?()2?()4?()2nxxx 故：Sn?(1? 22（首项 x，公比 x 等比数列） （常数列） （首项()，公比()等比数列） 1x 2 1x 2 、令 Tn?x2?x4?x2n x?1 时，Tn?x2?x4?x2n=1?1?1?n x?1 时，Tn?x2?x4?x2n x2?x2n?x2x2n?2?x2 ?= 22 1

11、?xx?1 、令 Mn?2?2?2?2n 篇二：高考数学数列求和典型题及解析数列求和 【考题回放】 1. （北京卷）设 f(n)?2?24?27?210?23n?10(n?N)，则 f(n)等于（ D ） A. 27 (8?1)B. n 27 (8 n?1 ?1) C. 27 (8 n?3 ?1) D. 27 (8 n?4 ?1) 2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和Sn=100,则 n=（ B ） A9B10 C11 D12 3. （福建）数列an的前n 项和为 Sn，若 an? A1B 56 1n(n?1) ，则 S5 等于（ B ） C 16 D 130 S3

12、1S6 4. （全国 II）设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若，则 S63S12 A. 3111 C. 10389 S3S6 ? 3a1?3d6a1?15d ?13 ,可得 a1?2d 且 d?0 解析:由等差数列的求和公式可得 所以 S6S12 ? 6a1?15d12a1?66d ? 27d90d ? 310 ,故选 A 5. （天津卷）已知数列an、bn都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 a1、b1，且 a1?b1?5， * ，则数列cn的前 10 项和等于（ ） a1,b1?N设cn?abn（n?N） A55B70 C85 D100 解：数列an、bn都是公差为 1 的等差

13、数列，其首项分别为 a1、b1，且 a1?b1?5，a1,b1?N设 cn?abn（n?N*） ，则数列cn的前 10 项和等于ab1?ab2?ab10=ab1?ab1?1?ab1?9，ab1?a1?(b1?1)?4， ab1?ab1?1?ab1?9 * =4?5?6?13?85，选 C. 6. （江苏卷）对正整数 n，设曲线 y?xn(1?x)在x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列的前 n项和的公式是解：y?nx n?1 ann?1 ?(n?1)x，曲线 y=x(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为k=n2-(n+1)2 ?an?n ?2.数列?的 n?1?n?1?an nn

14、n-1n 切点为（2，-2n）,所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令x=0 得 an=(n+1)2n,令 bn= 前 n 项和为 2+2+2+2=2-2突 破 重 难 点 【范例 1】设数列?an?满足 a1?3a2?32a3?3n?1an? （）求数列?an?的通项； （）设 bn?解 (I)a1?3a2?32a3?.3n?1an? 3 n?1 23nn+1 n3 ，a?N* nan ，求数列?bn?的前 n 项和 Sn 2 n?2 n3 ,a1?3a2?3a3?.3 13 n an?1? n?13 (n?2), an? n3 ? n?13 ? 13 (n?2). an? 13 n (

15、n?2). 验证 n?1 时也满足上式，an? (n?N). * (II) bn?n?3n，Sn?1?3?2?32?3?33?.n?3n 3Sn?1?3?2?3?3?3?.n?3 2 3 n n?1 2 3 4 n?1 n?1 - ： ?2Sn?3?3?3?3?n?3 ? 3?3 1?3 ?n?3 n?1 ，?Sn? n2 ?3 n?1 ? 14 ?3 n?1 ? 34 ? 【变式】已知二次函数 y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f(x)?6x?2，数列an的前 n 项和 ? 为 Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数 y?f(x)的图像上。（） 、求数列an的通项公式； （） 、设 bn? 1anan?1 ，Tn 是数列bn的前 n 项和，求使得 Tn? m20 对所有 n?N?都成立的最小正整数 m； 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（）设这二次函数 f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2,得 a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x. ? 又因为点(n,Sn)(n?N)均在函数 y?f(x)的图像上，