高中数学竞赛试题分类汇总

《高中数学竞赛试题分类汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛试题分类汇总（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、高中数学竞赛试题分类汇总高中数学竞赛试题分类汇总篇一：高中数学联赛真题分类汇编不等式高中数学联赛真题汇编不等式 (1981T6)在坐标平面上有两个区域 M 和 N，M 是由y0，yx 和 y2-x 这三个不等式确定，N 是随 t 变化的区域，它由不等式 txt+1 确定，t 的取值范围是0t1 ，设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t)，则 f(t)为 At2+t+2t2+2)2 解：OAB 的面积=1。 121212 12 直角边长为 t 的等腰直角三角形面积=t.直角边长为2 212 (1+t)=1t 的等腰直角三角形面积=t) 2 1111 f(t)=12(1t)2=1t2+ttt2(

2、 0t1 )选 A 2222 (1981T10)组装甲、乙、丙三种产品，需用 A、B、C三种零件每件甲需用 A、B 各 2 个；每件乙需用 B、C 各1 个；每件丙需用 2 个 A 与 1 个 C用库存的 A、B、C 三种零件，如组装成 p 件甲产品、q 件乙产品和 r 件丙产品，则剩下 2 个 A 和 1 个 B，但 C 恰好用完试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的 A、B、C 三种零件都恰好用完 解：已知即：每个甲用 A2，B2， 每个乙用 B1，C1， 每个丙用 A2， C1 共有 A 产品 2p2r2 件；B 产品 2pq1 件；C 产品 qr 件 设组装 m 件甲，

3、n 件乙，k 件丙，则用 2m2k 件 A； 用 2mn 件 B； 用 nk 件 C 如全部用完，则有2p2r2=2m2k； ?pr1=mk 2pq1=2mn； qr=nk ：3p2=3m这是不可能的故证 (1982T8) 当 a，b 是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 1112a+b22 甲：(a+b+)，乙：)，丙：(+ab2a+bab 中间，值最大的一个是 A必定是甲 B必定是乙 C必定是丙 D一般并不确定，而与 a、b 的取值有关 解：甲乙，但甲、丙大小不确定故选 D （1983T6）设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，abcd，ma+ncAPQBPQ CP ，那么 mn 22

4、xn1x2x1x2n （1984 二试 5）设 x1，x2，xn 都是正数，求证：x+x+xn x2x3xnx112 2 x1x2x3xn 证明+x22x1，+x32x2，+x42x3，x12x1 x2x3x4x1 上述各式相加即得 1 （1986T6）边长为 a、b、c 的三角形，其面积等于，而外接圆半径为 1，若 s=a+b+c， 4111 s 与 t 的大小关系是 abc AstBs=tCs 1abc1 解：=sinC=R=1，=，知 abc=1且三角形不是等边三角形 24R4 111111a+b+c+=a+b+c(等号不成立)选 C abcabbccaabc （1986T10）设 x、

5、y、z 为非负实数，且满足方程5x+9y+4z 2222 68?5x+9y+4z +256=0，那么 x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于； 解：令 2 5x+9y+4z =t，则得，t268t+256=0，?(t64)(t4)=0，?t=4，t=64 42?5x+9y+4z=4，?9(x+y+z)=4+4x+5z4，x+y+z； 9 4 4(x+y+z)=4x5y4，x+y+z1?x+y+z1； 9 5x+9y+4z=6?5x+9y+4z=36，?9(x+y+z)=36+4x+5z36，?x+y+z4； 4(x+y+z)=36x5y36，?x+y+z9 4 故，所求最大值与最小值的乘积=9

6、=4 9 （1989T12）当 s 和 t 取遍所有实数时，则(s+53|cost|)2+(s2|sint|)2 所能达到的最小值为 x2y2解：令 x=3|cost|，y=2|sint|，则得椭圆+1 在第一象限内的弧段 94 再令 x=s+5，y=s，则得 y=x5，表示一条直线(s+53|cost|)2+(s2|sint|)2 表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方其最小值为点(3，0)与直线 y=x5 距离平方=2 （1989T13）已知 a1，a2，an 是 n 个正数，满足a1?a2?an=1 求证：(2+a1)(2+a2)(2+an)3n 证明：2+ai=1+1+ai3ai，(i=1

7、，2，n) (2+a1)(2+a2)(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)(1+1+an)3a1?3a2?3an3na1a2an=3n 证法 2：(2+a1)(2+a2)(2+an)=2n+(a1+a2+an)2n1+(a1a2+a1a3+an1an)2n2+a1a2an 3 但 a1+a2+anna1a2an=n=Cn， 2Cn a1a2+a1a3+an1anCn 2 n1 (a1a2an)=Cn， 2 (2+a1)(2+a2)(2+an)=2n+(a1+a2+an)2n1+(a1a2+a1a3+an1an)2n2+a1a2an 2n+Cn2n1+Cn2n2+Cn=(2+1)n=3n

8、 121 （1989 二试 2）已知 xiR(i=1，2，n；n2)，满足 x11 求证：? ?i22n 证明：由已知可知，必有 xi0，也必有 xj 设xi1，xi2，xil 为诸 xi 中所有0 的数，xj1，xj2，xjm 为诸 xi 中所有 11 X=xi1+xi2+xil=，Y=xj1+xj2+xjm= 22 kxmxxi?kxilmxjhk1mXY11iljh ?于是当时，=xilxjh= lhnh=12222n?i?l=1lh=1hl=1l=1h=1 |x|=1，x=0， i i nn i=1i=1 高中数学联赛k 真题分类汇编 于洪伟 mxkxmxkxilYX11xi?1mjh

9、iljh ?于是当时，=xilxjh= lhilhn2222n?l=1h=1l=1h=1l=1h=1 x11 总之，? ?i22n 11 （1990T7）设 n 为自然数，a、b 为正实数，且满足a+b=2，则的最小值是 +1+a1+ba+b2111+an+1+bnnn 解：ab(=1，从而 ab1，故 +=1等号当且仅当 21+a1+b1+a+b+aba=b=1 时成立即所求最小值=1 （1990T9）设 n 为自然数，对于任意实数 x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则 n 的最小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z

10、2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号当且仅当 x=y=z 时成立故 n=3 （1991T15）已知 0 1 loga(ax+ay)loga2+8 1x+y xyxy 解：由于 0 1 x)4于是 a2a8 x+y1 a+a2a22a8故证 x y (1992T13)求证：16 i=1 4 1 篇二：XX-XX 全国高中数学联赛分类汇编 专题10 平面几何 1、 （XX 二试 1）如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNAC（M、N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接

11、圆于 D证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等 2、 （XX 二试 1）如图：ABC 中，O 为外心，三条高AD、BE、CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于点 M，FD 和 AC 交于点 N。求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。 【解析】证明：(1)A、C、D、F 四点共圆 BDFBAC 又OBC 1 (180BOC)90BAC 2 OBDF (2)CFMA 2 2 2 2 MCMHACAH BENA 2 2 2 2 NBNHABAH DABC 2 2 2 2 BDCDBAAC OBDF 2 2 2 2 BNBDONOD OCDE 2 2 2 2 CMCDOM

12、OD ，得 2 2 2 2 2 2 2 2 NHMHONOM MOMHNONHOHMN kOBkDF?1 OBDF 同理可证 OCDE 在直线 BE 的方程 y? bcc ) (x?b)中令 x0 得 H(0，?aa bc?a2bc ? a2?3bc kOH? ? b?cab?ac2 ab?ac x 直线 DF 的方程为 y?2 a?bc ab?ac?y?x2?a2c?bc2abc?ac2?a?bc ,2 由? 得 N (2) 22 a?2bc?ca?2bc?c?y?a(x?c) ?c?a2b?b2cabc?ab2 ,2 同理可得 M (2) 22 a?2bc?ba?2bc?b kMN a(b

13、2?c2)(a2?bc)ab?ac ?222 (c?b)(a?bc)(a?3bc)a?3bc kOH kMN 1，OHMN 3、 （XX 二试 1）如图，在ABC 中，A=60，ABAC，点 O 是外心，两条高 BE、CF 交于 H 点，点 M、N 分别在线段 BH、HF 上，且满足 BM=CN，求 MH?NH 的值。 OH 4、 （XX 二试 1）过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A、B，所作割线交圆于 C、D 两点，C 在P、D 之间在弦 CD 上取一点 Q，使DAQ=PBC求证：DBQ=PAC 分析：由PBC=CDB，若DBQ=PAC=ADQ，则?BDQ?DAQ反之，若?

14、BDQ?DAQ则本题成立而要证?BDQ?DAQ，只要证=【解析】：连 AB ?PBC?PDB， BDDQ 即可 ADAQ 5、 （XX 二试 1）在锐角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE与 AC 上的高 BD 相交于点 H，以 DE 为直径的圆分别交AB、AC 于 F、G 两点，FG 与 AH 相交于点 K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求 AK 的长6、 （XX 二试 1）如图，在ABC 中，设 ABAC，过 A作ABC 的外接圆的切线 l，又以 A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段 AB 于 D；交直线 l 于 E、F。证明：直线 DE、DF分别通过ABC 的内心与一个旁心。

15、 （注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。 ） 【解析】证明：（1）先证 DE 过ABC 的内心。 如图，连 DE、DC，作BAC 的平分线分别交 DC 于G、DE 于 I，连 IC， 则由 AD=AC， 得，AGDC，ID=IC. 又 D、C、E 在A 上， 7、 （XX 二试 1）以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与AB0B1 的边 ABi 交于 Ci（i=0，1） 。在 AB0 的延长线上任取点 P0，以 B0 为圆心，B0P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长线于Q0；以 C1 为圆心，C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1；以 B1 为圆心，B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0的延