高中数学培优用书

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1、高中数学培优用书高中数学培优用书 篇一：高一数学培优教材(1-6)教案新人教版 高一数学培优教材第一讲 函数的性质 一、 基本性质： 1. 函数图像的对称性 （1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对 称，对于任意 x?D，都有 f(?x)?f(x)成立； 偶函数的图像关于 y 轴对称，对于任意 x?D，都有 f(?x)?f(x)成立。 （2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像 关于直线 y?x 对称。 若某一函数与其反函数表 示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线 y?x 对 称。 （3） 若函数满足 f(x)?f(2a?x)，则 f(x)的图像就 关于直线 x?a 对称；若

2、函数满足 f(x)?f(2a?x)，则 f(x)的图像就关于点(a,0)对称。 （4） 互对称知识：函数 y?f(x?a)与 y?f(a?x)的图 像关于直线 x?a 对称。 2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。 判断一个函数的单调性一般采用定义法、导 数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数 的单调性） 特别提示：函数 y?x?3函数的周期性 对于函数 y?f(x)，若存在一个非零常数 T，使得当 x 为定义域中的每一个值时，都有 a (a?0)的图像和单调区间。 x f(x?T)?f(x)成立，则称 y?f(x)是周期函数，T 称为 该函数的一个周期。若在所

3、有的周期中 存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。 （1） 若 T 是 y?f(x)的周期，那么 nT(n?Z)也是它的 周期。 T 的周期函数。 a （3） 若函数 y?f(x)的图像关于直线 x?a 和 x?b 对称， 则 y?f(x)是周期为 2(a?b)的函数。 （2） 若 y?f(x)是周期为 T 的函数，则 y?f(ax?b) (a?0)是周期为 （4） 若函数 y?f(x)满足 f(x?a)?f(x)(a?0)，则 y?f(x)是周期为 2a 的函数。 4高斯函数 对于任意实数 x，我们记不超过 x 的最大整数为x， 通常称函数 y?x为取整函数。又称高斯函数。又记x? x?x

4、，则函数 y?x称为小数部分函数，它表示的是 x 的 小数部分。 高斯函数的常用性质： （1） 对任意 x?R,均有 x?1?x?x?x?1 （2）对 任意 x?R，函数 y?x的值域为0,1) （3） 高斯函数是 一个不减函数，即对于任意 x1,x2?R,若 x1?x2,则x1?x2 （4） 若 n?Z,x?R,则有x?n?n?x,n?x?x，后 一个式子表明 y?x是周期为 1 的函数。 * （5） 若 x,y?R,则x?y?x?y?x?y?1（6） 若 n?N,x?R,则nx?nx 二、综合应用 例 1：设 f(x)是 R 上的奇函数，f(x?2)?f(x),当 0?x?1 时，f(x)

5、?x,求 f()的值。 x),g(x)例 2：设 f(都是定义在 R 上的奇函数，F(x)? af(x)?bg(x)?2 在区间(0,?)上的最大值为 5， 求 F(x)在(?,0)上的最小值。 ?x3?sinx?2a?0? 例 3：已知 x,y?,?,a?R,且?,则 cos(x?2y)? _ 13 44?4y?sin2y?a?0 ?2 例 4：设 a?1,a,?均为实数，试求当?变化时，函数 y? (a?sin?)(4?sin?) 的最小值。 1?sin? 例 5：解方程：（1）x?log2(2x?31)?5 （2） (x2?20x?38)3?4x2?152?x3?84x 例 6：已知定义

6、在 R 上的函 数 f(x)满足 f(x)?f(y)?f(x?y)，当 x?0 时 f(x)?0，f(1)? 2； （1） 求证：f(x)为奇函数； （2）求 f(x)在?3,3 上的最值；（3）当 t?2 时,不等式 f(klog?f(log2t)2t?2 log2t? k 的取值范围。 2)?恒成立，求实数 0 例 7：证明：对于一切大于 1 的自然数 n ，恒有(1?)(1?)?(1? 1 3151 )?2n?1 例 8：设 f(x)是定义在 Z 上的一个实值函数， f(x)满足? ?f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)?f(1)?0 ，求证： f(x)是周期为 4 的周期函数

7、。 例 9：给定实数 x，定义x为不大于 x 的最大整数， 则下列结论中不正确的序号是（ ） x?x?0x?x?1f(x)?x?x是周期函数f(x)? x?x是偶函数 例 10：求方程 lg2x?lgx?2?0 的实根个数。 三、强 化训练： 1. 已知 f(x)?asinx?4（a、b 为实数） ，且 f(lglog310)? 5，求 f(lglg3)的值。 22 2. 若方程 x?2asin(cosx)?a?0 有唯一解，求 a 的所 有取值。 3. 已知函数 f(x)定义在非负整数集上，且对任意正 整数 x，都有 f(x)?f(x?1)?f(x?1)。若 f(0)?1992，求 f(19

8、92)的值。 4. 函数 f(x)定义在实数集 R 上，且对一切实数 x 满 足等式 f(x?2)?f(2?x),f(x?7)?f(7?x).设 f(x)?0 的一个根 是 x?0，记 f(x)?0 在区间?1000,1000?中的根的个数是 N，求 N 的最小值。 5. 若函数 y?f(x)的图像关于直线 x?a 对称，且关于点 M(b,c)对称，求证 f(x)是周期函数。 2 6. 求数列?an?的最小项，其中 an?2n?24n?69? a (n?1,2,?) (3n?22)2?3 7. 已知 f(cosx)?0 的解集为0, ?2 ，解不等式 f(sinx)?0. 8. 设 f(x)是

9、定义在(0,?)上的增函数，对任意 x,y?(0,?)，满足 f(xy)?f(x)?f(y)。 f(x)?0（1）求证：当 x?(1,?)时， x f()?f(x)?f(y) y （2）若 f(5)?1，解不等式 f(x?1)?f(2x)?2. x22 9. 已知 f(x)?a(a?0,a?1)，求满足 f(3x?4x?5)? f(2x?3x?1)的 x 的值。 1024 10. 求和： ?log N?1 2 N 参考答案： 例 1：周期为 4，f()? 例 2：记 G(x)?af(x)?bg(x)，则 G(x)为奇函数。F(x) 在(?,0)上的最小值为-1. 例 3：f(t)?t3?sin

10、t 在?例 4：y?(1?sin?)? 当 1?a? ? ,上为增函数，cos(x?2y)?1 44 3(a?1)3(a?1) ?a?2，换元后研究函数 f(x)?x?a?2 的单调性 1?sin?x (x?；当 a? 7 时 ymin?a?2357 时 ymin?(a?1)(x?2) 23 例 5：（1）构造 f(x)?x?log2(2x?31)，利用单调性 得：x?5 （2） 构造递增函数 f(x)?x3?4x，利用 f(x2?20x?38)? f(x)解得：2?x?9 例 6：（2）f(x)max?6; f(x)min?6 （3 ）k?1 111 (1?)(1?)?(1?) 1 例 7

11、：构造 f(n)?，证明 f(n)是递增数列，故 f(n)?f(2)? 2 例 8：令 y?1 得 f(x?1)?f(x?1)?0?f(x)?f(x?2)?T?4 例 9： ?gl?x0lg2x?2?lgx?lgx?1?lgx?2 例 10：（1）当? 1 （2）当 0?lxg? 时lgx?1，代入原方程解得 x? 1 10 2 时 ?时lgx?0?lgx?（矛盾） （3）当 1?lxg lgx ?1?lgx?x?（4）当 lgx?2 时lgx?2?x?1000 强化训练： 1 3 2 a?0,a?2sin1 3 f(1992)?f(0)?1992 4 401 5 略 9 19 7 2k?x?

12、2k?,k?Z 6 最小项为 a6?38 x?(0, 1) 49 9 a?1 时 x?2,x?3；0?a?1 时?2?x?3 ?log10 N?1 1024 2 N?0?1(22?2)?2(23?22)?3(24?23)?9(210?29)?10?820 4 高一年段数学培优教材第二讲 二次函数 二、 基础知识： 1 二次函数的解析式 （1）一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0) （2）顶点式：f(x)?a(x?h)2?k，顶点为(h,k) （3） 两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) （4）三点式：f(x)? (x?x1)(x?x3)(x?x2)(x?x3)(x?x1)(x?x

13、2) f(x3)?f(x2)?f(x1) (x3?x1)(x3?x2)(x2?x1)(x2?x3)(x1?x2)(x1?x3) 2二次函数的图像和性质 b4ac?b2 （1）f(x)?ax?bx?c(a?0)的图像是一条抛物线，顶点 坐标是(?,)，对称轴方程为 2a4a 2 x? b ，开口与 a 有关。 2a bb 上为减函数，在?,?)上为增函数；a?0 时相反。 2a2a （3）奇偶性：当 b?0 时，f(x)为偶函数；若 f(a?x)? f(a?x)对 x?R 恒成立，则 x?a 为 f(x)的 （2）单调性：当 a?0 时，f(x)在(?,?对称轴。 b4ac?b2 （4）最值：当

14、 x?R 时，f(x)的最值为，当 x?m,n, ?m,n时，f(x)的最值可从 2a4af(m),f(n),f(? bb )中选取；当 x?m,n,?m,n时，f(x)的最值可从 f(m),f(n)中选取。常依 2a2a 轴与区间m,n的位置分类讨论。 3三个二次之间 的关联及根的分布理论： 2 二次方程 f(x)?ax?bx?c?0(a?0)的区间根问题，一般 情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端 点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。 三、 综合应用： 例 1：已知二次函数 f(x)的图像经过三点 A(1,?6), B(?1,0),C(,0)，求 f(x)的解析式。 2 例 2：已知

15、 f(x)?x?ax?3?a，若 x?2,2时，f(x)?0 恒成立，求 a 的取值范围。 2 例 3：集合 A?(x,y)|y?x?mx?2，B?(x,y)|x?y?1?0,且 0?x?2，若 AB?，求实 数 m 的取值范围。 2 例 4：设 f(x)?ax?bx?c(a?0)满足条件：（1）当 x?R 时，f(x?4)?f(2?x)且 f(x)?x， （2）当 ?x?1?x?(0,2)时,f(x)? （3）f(x)在 R 上的最小值 为 0。求 f(x)的解析式；求最大的 m(m?1)?， 2? 使得存在 t?R，只要 x?1,m就有 f(x?t)?x。 例 5：求实数 a 的取值范围，

16、使得对于任意实数 x 和 任意实数?02 ? 2 ，恒有 12 (x?3?2s?in?c2o?s(x?)asi?n?a?cos?)。 8 例 6：已知函数 f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程 f(x)?x 的 两根是 x1,x2,且 x2?x1?试比较 f(t)与 x1 的大小。 1 ，又若 0?t?x1，a 2 ?bx?c(a?0),方程 f(x)?x?0 的两个根 x1,x2 满足 0?x1?x2?例 7：设 f(x)?ax 1 ， （1）当 a x?(0,x1)时，证明 x?f(x)?x1；（2）设 f(x)的图像 关于直线 x?x0 对称，证明 x0? x1 2 四、 强化训练： 1 二次函