多项式长除法精讲精练

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1、1多项式长除法多项式长除法 是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多 项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它 将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。例计算例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为 x） 。结果写在横 线之上(x3 x = x2).2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项） ，乘积写在分子前两项之下 (x2 (x 3) = x3 3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项） ，结果 写在下面。(x3 12x2) (x3 3

2、x2) = 12x2 + 3x2 = 9x2)然后，将分子的下一项“拿下 来” 。4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项25.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。横线之上的多项式即为商，而剩下的 (123) 就是余数。算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为 10 的情 形。除法变换除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 (P)的次数）。 然后，对某个商多项 式 Q(x) 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 (D)的系数），这种变换叫做除法变换除法变换，是从算数等

3、式 .1 得到的。3应用应用: :多项式的因式分解多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到 的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项 式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。 简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为 零。相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s，以此类推。或

4、 者可以一次性地除掉二次因子 x2-(r+s)x+rs。使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是 可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一 个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根 的显式公式求得剩余的根。寻找多项式的切线寻找多项式的切线多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。2 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2 的余式也即，除以 x2-2rx+r2那么在 x=r 处 P(x) 的 切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。2 一元多项式及整除

5、性下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根 的方法。 学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。定义 4 设P是一个数域，x是一个文字，形式表达式 ) 1 ( 011 1axaxaxan nn n 其中ia是数域P中的数，n是非负整数）称为数域P上的一元多项式，通常记为)(xf。k kxa称为k次项的系数。例如： xxxf521)(3 是多项式123)(xxxxg不是多项式，因为1不是非负整数。 定义 5 如果数域P上多项式)(xf，)(xg同次项系数都相等，称)(xf与)(xg相等 记为： )(xf=)(xg一个多项式里可以人员添上系数为 0 的项，约定

6、iixx 1定义 6 在（1）中如果0na，称n为多项式01)(axaxaxfn n的次数，记为)()(xfxf，或次。4零多项式不定义次数。 下面给出多项式加法与乘法：设 nii ixaxf1)( mii ixbxg1)( 是数域P是的多项式。0 0 mnbanm规 定 nii iixbaxgxf1)()()( 。kkkknmii inmbababacxcxgxfbb011011)()( 0 其中易验证多项式加法与乘法满足下列算律：01加法交换律：)()()()(xfxgxgxf02加法结合律：)()()()()()(xhxgxfxhxgxf03乘法交换律 04乘法结合律 05乘法对加法的分

7、配律 关于多项式次数，我们有定理 2 设)(xf，, 0)(xf是数域P上的两个多项式，, 0)(xf0)(xg则(1) 当)(xf+0)(xg时 )(xf+)(),(max)(xgxfxg(2) 当0)()(xgxf时 )(xf)()()(xgxfxg 证明：略。 明显地利用定理 5 不难证明推论：若)()()()(xhxfxgxf, 0)(xf则)()(xhxg一个三位数 1：三个数相加为 20。2：百位上的数字比十位上的数大 5。3：个位上的数是十位上数的 3倍，这个 3 位数是什么？设十位数为 x，百位数（x+5） ，各位 3x。相加为 20，所以 x+x+5+3x=20。所以 x=3

8、，也就是 839.第五讲第五讲 多项式多项式1.(1.(一、多项式的整除概念一、多项式的整除概念) ) 2.(2.(二、最大公因式二、最大公因式)()(本页本页) ) 3.(3.(三、多项式的因式分解三、多项式的因式分解) ) 4.(4.(四、重因式四、重因式 五、多项式的函数五、多项式的函数) ) 5.(5.(六、复与实系数多项式的因式分解六、复与实系数多项式的因式分解) ) 6.(6.(七、有理数域上的多项式七、有理数域上的多项式) )如果多项式 既是 的因式, 又是 的因式, 那么 称为 与 的公因式.5定义定义 3 3设 . 如果 上多项式 满足以下条件:(1) 是 与 的公因式;(2

9、) 与 的任何公因式都是 的因式,则称 是 与 的一个最大公因式最大公因式.引理引理如果有等式成立, 那么 , 和 , 有相同的公因式.由于在上述引理中, 我们可得到次数比 的次数小的 . 因此求, 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式 , 的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.定理定理 3 3数域 上任意两个多项式 与 一定有最大公因式, 且除相差一个非零 常数倍外, 与 的最大公因式是唯一确定的, 且 与 的任意最 大公因式 都可以表示成 与 的一个组合, 即有 中的多项式 , 使得 当 与 不全为零时, 其最大公因式 , 而 与 的任一 最大公因式必

10、为 的形式, 其中 为 上非零数. 在这些最大公因式中 有唯一的一个首项系数是 1, 我们用 来表示. 如果 , 则最大公因式只有一个零多项式, 记作 (0,0)=0.例例 2 2 设求 , 并把它表示成 , 的一个组合.解解 用辗转相除法:6第一步: 用 除 , 得商 , 余式 .第二步: 用 除 , 得商 , 余式 .第三步: 用 除 , 得商 , 余式 .最后一个不为 0 的余式是 , 所以最终得:定义定义 4 4如果 的最大公因式 , 则称 与 互素.定理定理 4 4两个多项式 互素的充分必要条件是存在 , 使得7证明证明 必要性 如果 与 互素, 那么 . 由定理 3, 存在 , 使

11、得充分性. 如果 令 是 与 的最大公因式. 于是从而, . 故 必为零次多项式. 所以 与 互素.互素多项式的一些性质(1) 若 , 且 , 则 .(2) 若 , , 且 , 则(提示 5.2)我们可以自然地把最大公因式及互素等概念推广到任意多个多项式的情况.定义定义 5 5设 (). 如果多项式 满足以下两个条件:(1) ;(2) 的任何公因式都是 的因式. 则称 是 的最大公因式.如果 全等于 0, 则其最大公因式等于 0, 否则, 它们的最大公因式不等于 0. 与 的情况一样, 可知它们的任意两个最大公因式只差一个非零常数倍. 我们仍用 表示它们中首项系数为 1的最大公因式. 则有定理

12、定理 5 58该定理告诉我们, 求多个多项式的最大公因式问题最终可归结为求两个多项式 的最大公因式问题.例例 3 3 设 , , . 求 解解 利用定理 5 来计算. 由计算可知所以, .第二章第二章 多项式多项式2.1 一元多项式的定义和运算2.2 多项式的整除性2.3 多项式的最大公因式2.4 多项式的分解2.5 重因式2.6 多项式函数多项式的根2.7 复数和实数域上多项式2.8 有理数域上多项式 返回教案总目录 2 22 2 多项式的整除性多项式的整除性 一、教学思考一、教学思考 1、在 R x内，除法不是永远可以施行的，因此关于多项式的整除性的研 究，也就是一个多项式能否除尽另一个多

13、项式的研究，在多项式理论中占有重 要地位。本节限于数域F上讨论多项式的整除性，其与整数的整除性类似，注 意对照学习。 2、多项式的整除性是多项式之间的一种关系（等价关系） ，为加深对此概 念的理解，需掌握一些特殊多项式（零多项式，零次多项式）间的整除关系及 整除的性质。 3、数域F上任意两个多项式总有带余除法结论成立，其证法思想是在中9学代数中多项式的长除法的运算表示实质的一般化，唯一性用同一法。 4、证明( )|( )f xg x的思想可从定义、带余除法得到的充要条件以及将 ( )g x分解成两项之和而每一项能被( )f x整除，或将( )g x分离出( )f x作为一个 因子来考虑。 5、

14、整除性不随数域扩大而改变是由带余除法得到的一个非显而易见的结论。二、内容、重点、要求二、内容、重点、要求 1、内容：一元多项式整除的定义、性质，带余除法。 2、重点：整除的定义、带余除法定理。 3、要求：正确理解掌握整除概念、性质，掌握带余除法定理。 三、教学过程三、教学过程 约定：约定：2.2-2.5 节在数域F中讨论多项式， F x是F上一元多项式环。 1 1、多项式的整除及性质、多项式的整除及性质 （1 1）定义）定义 1 1：设( ), ( ) ,f x g xF x若( ) h xF x使得( )( ) ( )g xf x h x（1） 则称( )f x整除（除尽）( )g x；用符

15、号( )|( )f xg x表示。 用符号( )|( )f xg x表示( )f x不整除( )g x 当( )|( )f xg x时，称( )f x是( )g x的一个因式，( )g x是( )f x的一个倍式。 注：注：（1）整除是多项式之间的一种关系，非多项式的运算。 （2）符号“( )|( )f xg x”不要与“( )/( )f xg x”混淆，后者是分式，后者中( )0g x ；而前者中由定义00( )f x A，即零多项式整除零多项 式。 （3）多项式整除性与整数的整除性非常相似，而不同的是：在多项式整除 定义中，只要求存在适合条件（1）的( )h x，不要求( )h x是否唯一，这就使得多 项式整除比整数整除有更广的含义，如在多项式整除意义下7|13。 （2 2）性质）性质 A）若( )|( )f xg x、( )| ( )g xh x，则( )| ( )f xh x；（传递性） B）若( )|( )h xf x、( )|( )h xg x，则( )|( ( )( )h xf xg x； C）若( )|( )f xg x，则对( ) h xF x有( )|( ) ( )f xg x h x；特别2( )|( )