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1、概率论与数理统计实验,实验3 参数估计假设检验,实验目的,实验内容,直观了解统计描述的基本内容。,2、假设检验,1、参数估计,3、实例,4、作业,一、参数估计,参数估计问题的一般提法,设有一个统计总体，总体分布函数为F(x, ), 其中是未知参数，现从该总体抽样，得样本,参数估计,点估计,区间估计,点估计 估计未知参数的值。,区间估计 根据样本构造出适当的区间， 使它以一定的概率包含未知参数或未知参 数的已知函数的真值。,（一）点估计的求法,1、矩估计法,基本思想是用样本矩估计总体矩 .,设总体分布含有个k未知参数 1 ，k,计算总体的前 k 阶矩,l=1,., k 阶矩,解此方程组得其根为,
2、分别估计参数i ，i=1,.,k，并称其为i 的矩估计。,由于样本的l 阶矩,依概率收敛到总体的l 阶矩 l 。所以令,2、最大似然估计法,设总体 X 有概率密度 f (x; )（或分布律 p(x; ), =(1,., k)。设 X1,.,Xn 是来自总体的简单随机样本， x1,.,xn是样本观测值。最大似然估计的想法是选取参数i, i=1,.,k，使样本X1,.,Xn在样本值x1,.,xn附近取值的概率达到最大。即构造似然函数,或,若有参数 =(1,., k)的取值，,使得似然函数L(1,.,k)达到最大，则称它为参数1,., k的最大似然估计。,（二）区间估计,置信区间的意义,枢轴量,1、
3、数学期望的置信区间,设样本,来自正态母体XN(, 2),(1) 方差 2已知, 的置信区间,(2) 方差 2 未知 , 的置信区间,2、方差的区间估计, 未知时, 方差 2 的置信区间为,（三）参数估计的命令,1、正态总体的参数估计,设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(X,alpha),此命令以alpha为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。（alpha缺省时设定为0.05）， 返回值muhat是正态分布的均值的点估计值， sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,
4、sigmaci是标准差的区间估计. X为矩阵（列为变量）时，输出行变量。,例1.给出容量为50的正态分布 N (10, 22)的随机数，并以此为样本值，给出 和 的点估计和区间估计;给出容量为100的正态分布 N (10, 22)的随机数，并以此为样本值，给出 和 的点估计和区间估计;给出容量为1000的正态分布 N (10, 22)的随机数，并以此为样本值，给出 和 的点估计和区间估计.,命令: X1=normrnd(10,2,50,1); mu1,sigm1,muci1,sigmci1=normfit(X1) X2=normrnd(10,2,100,1); mu2,sigm2,muci2,
5、sigmci2=normfit(X2) X3=normrnd(10,2,1000,1); mu3,sigm3,muci3,sigmci3=normfit(X3),例2.中国改革开放30年来的经济发展使人民的生活得到了很大的提高，不少家长都觉得这一代孩子的身高比上一代有了明显变化。下面数据是近期在一个经济比较发达的城市中学收集的17岁的男生身高（单位：cm），若数据来自正态分布，计算学生身高的均值和标准差的点估计和置信水平为0.95的区间估计。,170.1,179,171.5,173.1,174.1,177.2,170.3,176.2,175.4, 163.3,179.0,176.5,178.4
6、,165.1,179.4,176.3,179.0,173.9,173.7 173.2,172.3,169.3,172.8,176.4,163.7,177.0,165.9,166.6,167.4 174.0,174.3,184.5,171.9,181.4,164.6,176.4,172.4,180.3,160.5 166.2,173.5,171.7,167.9,168.7,175.6,179.6,171.6,168.1,172.2,例3. 产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。写出fugailv.m文件。,function fugailv(mu,sigm,n,m,alpha) X=
7、normrnd(mu,sigm,m,1); Mu,Sigm,Muci,Sigmci=normfit(X,alpha); muratio=0; sigmratio=0; for i=1:nX=normrnd(mu,sigm,m,1);Mu(i),Sigm(i),muci,sigmci=normfit(X,alpha); end for j=1:nif (Mu(j)=Muci(1)end end muratio=muratio/n sigmratio=sigmratio/n,muratio,sgmratio=fugailv(0,1,1000,200,0.05),muratio,sgmratio=f
8、ugailv(10,2,2000,500,0.01),muratio,sgmratio=fugailv(4,6,5000,400,0.025),2、其它分布的参数估计,(1). 取容量充分大的样本（n50），按中心极限定理，它近似地服从正态分布；,(2).使用Matlab工具箱中具有特定分布总体的估计命令.,10muhat, muci = expfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计. 20 lambdahat, lambdaci = poissfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求泊松分布的数据X 的参数的点估计及
9、其区间估计. 30phat, pci = weibfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求Weibull分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计.,函数名,参数估计 对应的参数,调用格式,mle,极大似然估计,phat=mle(dist,data),phat,pci=mle(dist,data),phat,pci=mle(dist,data,alpha),phat,pci=mle(dist,data,alpha,pl),normlike,对数正态 似然函数,L=normlike(params,data),normfit,正态分布,muhat,sigmahat,muci,sigm
10、aci = normfit(X,alpha),函数名,参数估计 对应的参数,调用格式,poissfit,泊松分布,lambdahat=poissfit(X),lambdahat,lambdaci=poissfit(X),unifit,均匀分布,ahat,bhat=unifit(X) ahat,bhat,ACI,BCI=unifit(X) ahat,bhat,ACI,BCI=unifit(X, alpha),lambdahat,lambdaci= poissfit(X,alpha),函数名,参数估计 对应的参数,调用格式,weibfit,威布尔分布,weiblike,威布尔对数 似然函数,log
11、L=weiblike(params,data) logL,info=weiblike(params,data),phat=weibfit(X) phat,pci=weibfit(X) phat,pci=weibfit(X, alpha),说明：命令mle的调用格式中： phat,pci=mle(dist,data,alpha,p1)只用于二项分布， 其中p1为试验次数,例4. rv=binornd(20,0.75,1,10)%产生10个二项分布随机数参数为20和0.75p,pci=mle(binomial,rv,0.05,20),rv=12 14 18 13 12 14 16 15 18 16
12、 p=0.7400 pci=0.6734， 0.7993,例5. 生成指数分布随机数100个，假设均值参数真值为0.5, 以此为样本值，给出参数的点估计和区间估计,命令: r=exprnd(0.5,100,1); lamta,lamtaci=expfit(r); lamta,lamtaci=expfit(r,0.01);,结果: lamta=0.4579 lamtaci=0.3799， 0.5627 lamta=0.4579 lamtaci=0.3587，0.6015,3. 不常用分布的参数估计（极大似然估计）,此类问题一般归结为无约束最优化问题。,无约束最优化问题的一般形式：,参数的极大似然
13、估计就是取目标函数为,的无约束最优化问题。,方法：,最速下降法 Newton(牛顿）法及其修正的方法。 共轭方向法和共轭梯度法 变尺度法（拟牛顿法） 等等,详见北京大学出版社 高惠璇编著统计计算 P359-P379,二、假设检验,对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.,统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。,在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的情况，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设。,1. 参数检验：如果总体的分布函数类型已知，这时构造出的统计量依赖于总体的分布函
14、数，这种检验称为参数检验.,参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质 出明确的判断.,2. 非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个分布 的参数作出明确的判断，检验统计量的分布函数不依 赖于总体的分布类型，这种检验叫非参数检验. 如判断 总体分布类型的检验就是非参数检验.,假设检验的一般步骤是：,根据实际问题提出原假设H0与备择假设H1，即说明需要检验的假设的具体内容 。,选择适当的统计量，构造恰当的拒绝域.,根据样本观测值计算统计量的观测值，看其是否落 入拒绝域中，从而在检验水平条件下对拒绝或接受原假设H0作出判断 .,（一）参数检验,1、单个正态总体XN(, 2)均值检验,-方差 2已
15、知时采用 z 检验,- 方差 2未知，采用t 检验,2、单个正态总体方差检验- 2,3、两个正态总体N(1, 12)和N(2, 22)均值检验,（1）已知 选取统计量,（2）方差未知 ，检验,选取统计量,（2）方差未知 ，检验,选取统计量,当 |t|t 1/2(n1+n2-2)时拒绝原假设，否则接受原假设。,-t 1/2 (n1+n2-2)为 t 分布t (n1+n2-2)的下测1/2分位数，n1为来自总体N(1, 12) 的样本的容量，n2是来自总体N(2, 22)的样本的容量。,4、两个正态总体方差检验,5、参数检验的计算机命令,10 z检验,（1） 命令ztest函数,（2）功能：给定方差条件下进行正态总体均值得检验,（3）语法：h=ztest(x,m,sigm);h=ztest(x,m,sigm,alpha);h,sig,ci=ztest(x,m,sigm,alpha,tail);h=1,则拒绝原假设，h=0, 则接收原假设,（4）描述：ztest(x,m,sigm)在0.05水平下进行Z检验，以确 定服从正态分布的样本均值是否为m，sigm为给定的标准差 h=ztest(x,m,sigm,alpha)给出显著水平控制参数alpha， h,sig,ci=ztest(x,m,sigm,alpha,tail)允许指定是进行单侧检验还是双侧检验。,
