因式分解难题解析

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1、因式分解难题解析因式分解难题解析詹码论坛站长詹码论坛站长在因式分解时，有时会用到以下两个公式：nnn-1n-2n-2n-1a -b =(a-b)(a+ab+ab+b)Lmmm-1m-2m-2m-1a +b =(a+b)(a-ab+-ba+b)(mL为奇数）下面精选了十个实例进行讲解。0101 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2分析：一眼就可看出，这是 3 次的齐次多项式。一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2= x3-xy2-xz2+yz2 +x2z-2xyz+y2z=x(x2-y2)-z2

2、(x-y)+z(x2-2xy+y2)=x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2=(x-y)(x2+xy-z2+zx-zy)此题若不进行科学分组会很困难。0202 22282143xxyyxy分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。解：x y 常数项 1 4 -11 -2 3=(x+4y-1)(x-2y+3)22282143xxyyxy注意：先看前三项，是否与 x、y 两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后 再看 x、常数项是否与 x 的系数相配，最后看 y、常数项是否与 y 的系数相配。作业： 12233baabba提示：先分组再变形最后用十字相乘法。22222222222

3、2()()1()()()1()()()1(1)(1)ab ababab ab ababaab abbabaababb 原式难度较大。 22xyyxy提示：x2的系数看成 0，然后再用双十字相乘法。x y 1 1 20 1 1 原式（xy2） （y1）也可用分组法，以 x 为主元。03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 分析：这个题目一看，映入眼帘的就是 3 个括号。瞧瞧 括号里 的 b+c 、 c-a 、a+b，看看这 3 项是否有某种联系前两项相加得不出 第 3 项，但我们发现，后 2 项相加正好等于第 1 项。所以，这个题目中的第 1 项如果分成两部分，一部分配给第 2 项，

4、一部分配给第 3 项会是不坏的注意。解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 作业： 3356xx 42511xx 43223xxx提示：需要拆分分组。04 432272136xxxx分析：拿到这道题，一看便知，这是高次，且包含多项的 多项式。另外，还看到 7、-13、6 有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。这样就有（2x4-2x2）+（7x3-13x+6）不难把 13x 分

5、成 7x 和 6x，配给 7x3和 6。这样，接着 2x2(x2-1)+7x(x2-1)-6(x-1)至此对后的分解就不在话下了。对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为 0，这意味着 x=1 是它的根，根据因式定理，就知道 x-1 是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照 x-1 的思路。作业：x3 +2x2 -5x-6 提示：当偶次项的系数和（2+（-6）=-4）等于奇次项系数和（1+（-5）=-4）时，就有-1 这个根。也就是说，x+1 是多项式的一个因式。05 432262xxxx分析：拿到这个题目，一看就觉得有某种对称关系： ，系数分别相422x 与3-x-x与等。显然，应

6、该把它们分别结合，然后再考察。解：4324324222622262116 xxxx( x)( xx)x(x)x(x)x到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现 x4+1 与x2+1 长得挺像，一定有某种因缘。 21422yx,x +1=y -2x4 4令 令令 令令 令令 令这里采用换元法，x2+1 看成 y。 22210252= y -xy-x =( yx)(yx)令 令令 令2225221( xx)(xx)22121( x)(x)(x)对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提取一个最高项的次方的一半： 43222 222 2262 122621

7、26xxxxx ( xx)xxx ( x +)(x)xx然后令 ，那么1xyx22 212xyx原式=22210x ( yy)=2252x ( y)(y)=221252x ( x)(x)xx=2225221( xx)(xx)=22121( x)(x)(x)作业： 22216112(aa)(aa)a提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。 2254272(xx)(xx)提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：一看便知，这是一个很有特色的式子。除了常数项，就只剩下 x+y 和 xy。很容易想到，对它们工作应该有效

8、。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc 分析：这是一个轮换对称式，将 a 换成 b，b 换成 c，c 换成 a，结果一样。这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。可以用 a+b=0 代入多项式中，如果等于 0，则有这个因式。令 a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0，因此a+b=0 是其一个因式。.同理，b+c、c+a 也都是因式，三者的次数也正好是 3 次，不会有其他因式了。解：a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)

9、-abc=(ab)c-abc=0.由此可见，a+b 是多项式的一个因式。同理可知，b+c、c+a 都是它的一个因式。令 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0，b=1，c=2，则得 k=1这道题也可以用主元法，一堆字母组成的多项式，一般都可以用。以某一个字母为主，其他为辅，按主字母的降序重新排列多项式。(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc （假设以 a 为主元）=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc =(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c) （以 a 的降序排列）=(b+c)(a2+(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(

10、a+c)作业： x4+(x+y)4+y4提示：这种轮换对称，一般与 x+y、xy 有关。因此可以分组成 x4+(x+y)4+y4= (x4+y4)+(x+y)4 ，又 x4+y4= （x2+y2）2-2 x2y2=（x+y）2-2xy2-2 x2y2。 16y+2x2(y+1) 2+(y-1) 2x4 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成 6y3-37y2z+32yz2+15z3，就遇到了如何处理 37y2z 的问 题，如何把它拆开，使它一部分同 6y3，另一部分同 15z3+32yz2在一起这是要 研究的。 假设

11、是 Ky2z、Ly2z。现在考察 Ly2z+32yz2+15z3，不妨假设 L 分解成 m、n，并 提取负号，根据十字相乘法的原理，则有 Ly2z+32yz2+15z3=z(my-5z)(ny+3z)，- 5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，显然，m=1 或 6 或 11，n 才有整数解， 假设 m=1， 则 n=7，L=-mn=-7，也就是将-37y2z 拆成-7y2z 和-30y2z 两部分，分成两组，前 后都可以分解，然后提取公因式。这里用了待定系数法。 拆项时的以上运算可以在稿纸中进行，无需写入试卷。 答案是(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。 此题为

12、竞赛级别的题目。 2a-6b-12c-5d+ab-2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是数学竞赛中常用的方法。该题为竞赛题目。 答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4)。07 222a (bc)b (ca)c (ab)分析： 不难发现，当 ab 时，原式0，故可断定 ab 是原式的一个因式，同理， bc、ca 也是原式的因式。 可设原式k(a-b)(b-c)(c-a) 再令 a0，b1，c1 代入上式，得-2=2k，k1 故原式-(a-b)(b-c)(c-a)。此题用拆项法 或 主元法 也都很方便。作业： a3(b-c)

13、+b3(c-a)+c3(a-b) 提示：还有一个因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆项法也方便。08 3292315xxx分析：一看就知道有-1 根，因为，它们的系数和等于 24，必含有3223x 9x15x 与，与(x+1)的因式，因此很容易把分组为3292315xxx。32282315xx +xx令 令令 令令 令令 令当然，本题也可以用待定系数法确定 9x2如何拆。09 432564xxxx分析：尝试一下 1、2 都不是该多项式的根，这时我们会想到，它可能没有一次因式。这时可用待定系数法，按两次因式*两次因式的方式来求系数，即使每个两次因式还能继续分解为一次因式，也没有关系。我们一眼看

14、上去就知道，-5x2联系着前后两个组，能够把它分解好了，往后就迎刃而解了。分组法 也是 可行的。解一：令 x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-Kx2-L x2-6x-4= x4-x3-Kx2-(L x2+6x+4)= x4-x3-Kx2-(mx+4)(nx+1) 根据十字相乘法的原理：4n+m=6，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4，m 可取 2、6、10等。假如 m=2，则 n=1，L=mn=2，K=-3。我们可以试试是否成功。x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-3x2-2x2-6x-4= x4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4)= x4-(x+3)x2-(2x+4)

15、(x+1) =x2-(2x+4)x2+(x+1) (十字相乘法)=(x2-2x-4)(x2+x+1) 这种方法，有点运气在里面，如果把常数项 4 分解为 2*2 则达不到目的。再回头用 1*4 表示时会浪费了不少时间。解二：设原式=22(xaxb)(xcxd)整理后得=432x(ac)x(acbd)x(adbc)xbd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4，解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4。则43222564124xxxx(xx)(xx)这道题难度较大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：对于类似这样的多项式的分解，可利用乘法公式，将之乘以一个因式，同时除以一个因式，然后，借助乘法公式来解决问题。 巧用除法法，这是一种特殊方法，引用了高中的等比数列求和，在初中的考试中一般不会出现，但在竞赛中则有可能。原式=15510532111 111x(x)(xx) x(x)(xx)=4328754311(xxxx)(xxxxxx)把 x3看成 y 就变成了 y4+y3+y2+y+1，这就预示着可能