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1、第九章 应力状态,沈阳建筑大学 侯祥林 刘杰民,第九章 应力状态,91 应力状态的概念,92 平面应力状态分析的解析法,93 平面应力状态分析的图解法,94 梁的主应力及主应力迹线,95 空间应力状态简介,96 广义虎克定律,97 复杂应力状态下的体积应变、比能,98 平面应力状态下的应变分析,P,P,m,m,n,n,P,n,n,k,m,m,P,k,一、一点的应力状态,91 应力状态的概念,过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状态。,二、单元体,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为单元体。,单元体相对两面上的应力大小相等，
2、方向相反。,若所取单元体各面上只有正应力，而无剪应力，此单元体称为主单元体。,三、主平面和主应力,1,2,3,只有正应力，而无剪应力的截面称为主平面。,主平面上的正应力称为主应力。,一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列：,P,P, 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。, 若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。,A,B,P,x,x,x,x,x,x, 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向应力状态是最复杂的应力状态。,92 平面应力状态分析的解析法,一、斜截面上的应力,x,x,x,y,
3、y,n,t,x,x,y,y,y,y,x,x,y,同理，由 得：,任意斜截面的正应力和剪应力为,二、主平面的方位,设主平面的方位角为0，有,三、主应力,将主平面的方位角为0代入斜截面正应力公式，得,四、最大剪应力,解题注意事项：, 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。,x、y 以拉为正，以压为负；,x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负；, 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。, 求得主应力、与0排序，确定1、2、3的值。, 0为主应力所在截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。,在主值区间，20有两个解，与此对应的0也有
4、两个解，其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。,例91求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。,a,b,解：已知,x,n,n,练习1求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。,解：已知,例92求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,此解在第一象限，为本题解；,此解在第二象限，不是本题解，舍掉。,1,1,3,3,0=11.98,练习2求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,此解在第二、四象限，为本题解。,此解在第一象限，不是本题解，舍掉；,3,3,1,1,0=67.5,练习3求图示单元体的主应力、最大剪应
5、力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,此解在第一象限，为本题解；,此解在第二象限，不是本题解，舍掉。,1,1,3,3,0=18.43,93 平面应力状态分析的图解法,由解析法知，任意斜截面的应力为,将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加,得：,取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。,x,x,x,y,y,n,t,y,r,圆心坐标为,半径为,x,x,x,y,y,n,t,y,圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆称为应力圆。,圆上D1点代表x 截面；,D1,x,x,y,-x,D2,D2点代表y 截面；
6、,E,E点代表方位为 角的斜截面；,A1、 A2 点代表两个主平面。,1,2,A1,A2,x,x,x,y,y,y,D1,x,x,y,-x,D2,B1,B2,应力圆的画法步骤:, 作横轴为 轴，纵轴为 轴；, 在横轴上取OB1= x ，,过B1引垂线B1D1=x ；, 在横轴上取OB2= y，,过B2引垂线B2D2=-x ；, 连接D1D2交横轴于C ，, 以C为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为应力圆。,x,x,x,y,y,y,D1,x,x,y,-x,D2,B1,B2,证明:,例93试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,50,30,30,30,取:
7、,连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。,50,30,30,30,1,1,3,3,0=18.43,例94试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,取:,连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。,20,20,20,20,0=45,20,1,1,3,3,练习4试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,取:,连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。,C,O,B1,D1,D2,B2,100,50,50,C,O,B1,D1,D2,B2,100,50,50,A1,A2,
8、20,1,1,3,3,0=22.5,例95已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。,95MPa,45MPa,2,o,a,a,b,b,C,95,45,95MPa,45MPa,2,o,a,a,b,b,C,95,45,A1,A2,1,2,2a,2b,a,b,94 梁的主应力及主应力迹线,1,2,4,5,1,2,3,4,5,m,m,1,5,3,1,1,1,1,3,3,3,3,2,3,4,梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力1和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为
9、梁的主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。,x,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,主应力迹线的画法：,图示为悬臂梁的主应力迹线,实线表示拉主应力迹线；,虚线表示压主应力迹线。,图示混凝土梁自重下的主应力迹线。,混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强度。,95 空间应力状态简介,1、空间应力状态,2、三向应力圆,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,max,min,3、最大剪应力,1,2,3,最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面成45角。,96 广义虎克
10、定律,P,P,=,+,1,2,2,1,一、平面应力状态的广义虎克定律,正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；,二、三向应力状态的广义虎克定律,1,2,3,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,例96边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的应力x 、y 、z 和应变x 、y 、z 。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,P,x,y,z,x,y,z,例97已知E=10GPa、=0.2，求图示梁nn 截面上 k 点沿30方向的线应变 30。,n,n,k,1m,1
11、m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,30,-60,30,-60,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,30,-60,30,-60,例98薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的平均直径为D ，壁厚为t ，材料的E、 已知。已测得筒壁上 k 点沿45方向的线应变 45，求筒内压强p。,k,p,t,D,x,x,y,y,解：,筒壁一点的轴向应力：,筒壁一点的环向应力：,k,p,t,D,x,x,y,y,45,-45,45,-45,练习5受扭圆轴如图所示，已知m 、 d 、 E、 ，求圆轴外表面沿ab 方向的应变 ab 。,
