《复变函数与积分变换洛朗级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换洛朗级数（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、洛朗级数,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,讨论下列形式的级数:,可将其分为两部分考虑:,只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和. 正幂项是幂级数, 设其收敛半径为 R2：,这是t 的幂级数, 设收敛半径为R：,对负幂项, 如果令 t =(z-z0)-1, 可得：,则当|z-z0|R1, 即|t|R 时,因此, 只有在R1|z-
2、z0|R2的圆环域, 原级数才收敛.,例如级数,在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如, 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积分和逐项求导。,现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。,其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:,称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数.,根据由正负整次幂项组成的级数的唯一
3、性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.,解： 函数f(z)在圆环域 i) 0|z|1; ii) 1|z| 2; iii) 2|z| + 内是处处解析的, 可把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,先把f(z)用部分分式表示:,ii) 在1|z| 2内：,iii) 在2|z|+内:,例2 把函数,解：由,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开
4、式是唯一的.,例如在z=i和z=-i处将函数 展为洛朗级数。,在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.,因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个: 1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;,在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.,因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0|z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。,特别的，当洛朗级数的系数公式,（即可利用Laure
5、nt系数计算积分）,例,解：,例4,解：,故c-1=-2,本章重点与难点,洛朗级数的收敛特征及函数展开洛朗级数的间接方法,关于 的洛朗级数 “惟一性” 的理解与运用,函数所展泰勒级数的收敛半径确定方法,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,第五章 留数及其应用,5.1 孤立奇点5.2 留数5.3 留数在定积分计算上的应用,5.1 孤立奇点,如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.,奇点分类 孤立奇点非孤立奇点,孤立奇点分类,可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0
6、的负幂项, 则称孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.,f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +.,0|z-z0|d,则在圆域|z-z0|d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+., 从而 f (z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点.,2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即 f(z)=c-m(z-z0)-m +.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+ c1(z-z0)+.(m1, c-m0),则称孤立奇点z0为函数 f (z)的m级极点.,上式也可写
7、成:,其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +., 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 .,反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.,如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知,3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,4.函数的零点与极点的关系,例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.,根据这个定义, 我们可以得到以下结论: 设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是: f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1),f (m)(z0)0 .,不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 , m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点.,该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.,例3,对 讨论函数 在 处的性态。,
