现代控制理论课件

《现代控制理论课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论课件（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、偏微分方程控制理论的研究,本节课我们主要讲以下内容,偏微分方程基本概念 现代控制理论产生与发展 现代控制理论的应用,偏微分方程基本概念,那么，什么是偏微分方程 ？从小学开始， 我们就遇到过代数方程，比如或者：,偏微分方程基本概念,如果一个未知函数以及它导数满足某个等式，这个等式称为微分方程。如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。,偏微分方程基本概念,他们是怎么产生的，来自什么样的实际背景，如何建立起来

2、的这些方程，现实中有哪些偏微分模型？人口问题 红绿灯下的交通流 石油开采模型 吸烟过程的数学描述,一：人口问题,人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一。一 些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重地威胁 着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋近 于零，甚至变负，造成劳动力短缺，也是不容忽视的 问题。对于我国来说，在集中精力搞好经济建设，努 力提高生产力的同时，能否有效地控制人口的增长， 己成为本世纪初直到本世纪中叶使我国按人均国民经 济生产总值达到小康水平，进而跻身中等发达国家行 列的关键.,人口问题,由干我国五六十年代人口政策方面的失误， 不仅造成人口总数增长过快，而且，年龄结构也

3、不合理，使得对人口增长的严格控制会导致人口 老年化间题严重. 因此在首先保证人口有限增长 的前提下适当控制人口老化，把年龄结构调整到 合适的水平，是一项长期而又艰区的任务。建立 数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测， 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略，已 引起有关专家、官员和社会各方面的极大关注和 兴趣，是数学在社会发展中的重要应用领域.,人口问题,近年来我国一些从事自然科学，主要是控制 论研究的专家，从我国人口的现状出发，结合 当前的人口政策，在人口预测和控制方面做了 许多工作。过去人们讨论过人口的指数增长模 型和限滞增长模型，这些模型只考虑人口总数 和总的增民率，不涉及年龄结构

4、，因而建立的 是常微分方程。,人口问题,事实上，在人口预测中人口按年龄分布状况 是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死 亡率有着很大的差别。两个国家或地区目前人 口总数一样，如果一个国家或地区年青人的比 例高于另一国家或地区，那么二者人口的发状 况将大不一样. 我们可以讨论的模型要考虑人 口按年龄的分布，即除了时间变量外，年龄是 另占个自变量，并可用偏微分方程描述人口发 展的规律。,二：红灯下的交通流,各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过,其 情景栽像在揣急的江河中奔腾的水流一样，在这 种情况下人们不去分析每辆汽车的运动规律，而是把 车队看作连续的流体，称为交通流或车流。研究每一 时刻通

5、过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度 等变量间的关系，特别是在出现譬如红绿灯改变，交 通事故等干扰的情况下交通流的变化过程。查找资料 可知，过去人们建立交通流的基本方程是偏微分方 程，并讨论了在红灯和绿灯相继出现时交通流的 变化过程。,三：石油开采模型,地下储油层可以视为石油储藏在多孔介质之中， 当我们打井采油时需要研究石油在多孔介质中的 流动情况. 为了确定石油的储量和地下油藏参数，如多孔介质对石油的渗透率等，我们需要知道 地下石油的压力变化情况，知道了地下石油的压 力变化，可帮助我们决定采油方案。使采油能够 持续高产，但在采油的过程中，我们不可能测 量油藏各点的压力。因此，需要建立相应

6、的数学 模型，利用数值模拟技术计算出油藏各处压力的 变化情况。这个建立起来的也是偏微分方程。,四：吸烟过程的数学描述,尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多无可辩 驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力 于减少或禁止吸烟。但是仍有不少人不愿抛弃对香 烟的嗜好。香烟制造商既要满足瘾君子的需要，又 要顺应减少吸烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润 于是普遍地在香烟安装了过滤嘴，过滤嘴的作用到 底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关 系。我们可以从定量的角度回答这些问题，并建立 一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸的毒物 数量与哪些因素有关，以及它们之间的数量表达 式。这个模型居然也是偏微分

7、方程！,为了引出偏微分方程，让我们首先复习 一下高中导数的知识。导数的定义：设函数 f(x) 在 点 的领近有定义，如果存在极限：那么我们就说函数 f(x) 在 点处可导，并且把上述极限值称为函数 f（x）在 点的导数。记作 ：,导数的几何意义：,曲线 ，在点 处的 切线的斜率等于极限这就是导数的几何意义。,导数,与此相应的关于函数 ， 在 点的导数，除了采用上面介绍的 拉格朗日记号 外，还常常采用莱布尼茨记号 或者,多元函数的偏导数,设二元函数 在点 领 近有定义，如果存在极限，那么我们就说函数 ，在 点关于变量 x 可导， 称为函数,多元函数的偏导数,在 点关于变量 x 可导 ，称为 函数

8、 在 点对 x 的偏 导数，并且把上述极值记为,多元函数的偏导数,也就是说让 固定于 ，然后求一元函数 在 点的导数，就得到 在 点 对 x 的偏导数，同理， 让 固定于 ，然后求一元函数 在 点的导数，就得到函数 在 点对 的偏导数， 记为：,二阶导数的定义,设函数 在开区间 的每一点可导， 则以下对应关系定义了一个函数：这函数称为是函数 的导函数，记为 对于导函数 ，我们又可以讨论它的 可导性和导数。导函数 在 点的导 数 ，称为是函数 在 点的二 阶导数，记为： ， ，,二阶偏导数的定义,考察二元函数 ，这里的偏导数 和 仍是 的函数，我们又可以讨论以下函数 是否可以求偏导数的问题,二阶

9、偏导数的定义,如果函数 和 分别对变元 和 可求偏导数， 那么我们就把 这样的偏导数称为函数 的二阶偏 导数，他们共有以下几种偏导数：,二阶偏导数的定义,偏微分方程描述,所导出的所有方程都包含未知函数 和它的关于自变量的偏导数，所以是偏微分方 程。其中所含有的未知函数最高阶导数称 为这个偏微分方程的阶，例如波动方程 就是一个二阶偏微分方程。如果方程对 未知函数及其各阶导数总体来说是线性 的，则称这个方程是线性方程。,偏微分方程描述,进一步，如果方程对未知函数的所有 最高阶导数总体来说是线性的，则称他 是拟线性方程，例如，方程是一阶拟线性方程。,偏微分方程描述,如果非线性方程对未知函数的最高阶导

10、 数不是线性的，则称他为完全非线性方 程。例如：方程是一阶完全非线性方程。,偏微分方程分类,二阶线性偏微分方程还有更系统的分法一： 椭圆型偏微分方程二： 抛物型偏微分方程三：双曲型偏微分方程,现代控制理论的产生与发展,同学们，我们都知道，控制理论作为 一门科学技术，已经广泛的适用于我们 的现实生活当中。,控制理论的产生和发展要分为以下几个阶段,第一阶段：经典控制理论阶段经典控制理论既古典控制理论，也称为自动控 制理论，他的发展经历以下几个过程：第一： 萌芽阶段如果要追溯到自动控制技术的发展历史，早 在二千年前就有了自动控制的萌芽,萌芽阶段,第一： 两千年前我国发明的指南车就是一种开环自动调节系

11、统,萌芽阶段,第二 公元1086年-1089年我国发明的水运仪象台就是一种闭环自动调节系统。,第二： 起步阶段,随着科学技术与工业生产的发展， 到十八世纪自动控 制技术逐渐应用到现代工业中，其中最卓越的代表是 瓦特发明的蒸汽机离心调速器，加快了第一次工业革 命的步伐。,詹姆斯瓦特,詹姆斯瓦特（James Watt，1736年1月19日 1819年8月25日）是英国著名的发明家，是第一次工业革命时的重要人物。1776年制造出第一台有实用价值的蒸汽机。以后又经过一系列重大改进，使之成为“万能的原动机”，在工业上得到广泛应用。他开辟了人类利用能源新时代，使人类进入“蒸汽时代”。后人为了纪念这位伟大的

12、发明家，把功率的单位定为“瓦特”（简称“瓦”，符号W）。,詹姆斯瓦特,性格 瓦特心思细腻，做事动作迟缓并且非常容易焦虑。他常常会灰心丧气。他会将工作放到一边，感觉好像要彻底放弃了，但他的想象力丰富，总是能想到新的改进方法，以至于很多时候都来不及一一完成。瓦特的动手能力很强，并可以完成系统的科学的测定，以量化自己的革新效果，帮助自己的理解。 人物轶事如同其它著名的科学家发明家一样，关于瓦特也有一些有趣的故事，虽然多为夸张杜撰但也家喻户晓，值得一记。最著名的是瓦特与茶壶的故事，据说瓦特小时候有一次看到火炉上烧的水开了，蒸汽把水壶盖顶开，瓦特把壶盖放回去但很快又被顶开了。瓦特就这样不断地把壶盖放来放

13、去想找出为什么，后来瓦特意识到是蒸汽的力量，由此引发了他对蒸汽的兴趣并导致了蒸汽机的发明,第三： 发展阶段,1： 1868年，詹姆斯克拉克麦克斯韦 （James Clerk Maxwell）解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈震荡的不稳定问题， 提出了简单的稳定性代数判据。,发展阶段,2： 1895年劳斯（Routh）与赫尔维斯 （Hurwitz）把麦克斯韦的思想扩展到高阶微分方程描述更为复杂的系统中，各自提出了两个著名的稳定性判据，分别是劳斯判据和赫尔维斯判据，基本上解决了二十世纪初期控制工程的需要。,发展阶段,3：由于第二次世界大战的需要控制系统具有准确跟踪与补偿能力，1932年奈奎斯特（H.

14、Nyquist）提出了频域内研究系统的频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态，准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。,发展阶段,1948年，伊万斯提出了复数域内研究系统的根轨迹法，建立在奈奎斯特 的频率响应法和伊万斯的根轨迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论。,四：标志性阶段,诺伯特维纳（Norbert Wiener）（1894年11月26日1964年3月18日），美国应用数学家，控制论的创始人，在电子工程方面贡献良多。他是随机过程和噪声过程的先驱，又提出了“控制论”的一词。并与1948年出版了控制论关于在动物和机器中控制与通讯的科学书中论述了控制理论的一般方法，推广了反馈的概念，

15、为控制理论这门科学奠定了基础。,诺伯特维纳（Norbert Wiener）,20世纪著名数学家诺伯特维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。 在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。” 维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。,