高中数学必修4全套学案

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1、第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI基础自学一、角的概念1角的概念(1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2)角的表示顶点：用 O 表示；始边：用 OA 表示，用语言可表示为角的始边；终边：用 OB 表示，用语言可表示为角的终边2角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针旋转而成的角负角按照顺时针旋转而成的角零角当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角二、象限角1象限角：若角的顶点在原点，角的始边与 x 轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限

2、角2轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限三、终边相同的角设表示任意角，所有与角终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为|k360，kZ自我小测1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点( )(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角( )(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的( )提示：(1) (2) (3)2做一做(1)下列各组角中，终边不相同的是( )A60与300 B230与 950C1050与300 D1000与 80答案 C(2)将885化为 k360(00)(1)由已知，得Erro

3、r!Error!解得Error!Error!或Error!Error!由| 可得：或 6.lR23(2)扇形的面积S lR (82R)R(R2)24(00)，则有Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!，由| 得 4 或 1.lR扇形周长及面积的最值(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值其求法是把面积S 转化为关于 r 的二次函数，但要注意 r 的取值范围特别注意一个扇形的弧长必须满足 00)，r，那么任意角的三角函数的定义：x2y2三角函数定义表示式定义域sinyrsinyrRcosxrcosxrRtanyxtanyxError!Error!二、三

4、角函数值的符号记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦” 三、诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(2k)sin (kZ)cos(2k)cos (kZ)tan(2k)tan (kZ)终边相同的角的同名三角函数值相等自我小测1判一判(正确的打“” ，错误的打“”)(1)sin，cos，tan 中可以将“”与“sin”“cos”“tan”分开( )(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应( )(3)sinsinsin .( )253(38)332提示：(1) (2) (3)2做一做(1)若 sin0)，可yrxryx知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点 P(x，y)的坐

5、标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦2诱导公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求02(或 0360)角的三角函数值题型一求任意角的三角函数值例 1 2015黑龙江五校联考已知角的终边上有一点P(，m)，且 sinm，求 cos 与 tan 的值324解由已知有m，24m3m2得 m0，或 m.5(1)当 m0 时，cos1，tan0；(2)当 m时，cos，tan；564153(3)当 m时，cos，tan.564153变式探究将例 1 中的 P 点坐标改为(，m)再去求解3解 m，m0 或 m，24mm235当 m0 时，cos1，tan

6、0；当 m时，cos，tan；564153当 m时，cos，tan.564153利用三角函数的定义求值的策略(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离(2)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理(3)若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标【跟踪训练 1】已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 2cos21( )A B4535C. D.3545答案 B解析设 P(t,2t)(t0)为角终边上任意一点，则cos.t5|t|当 t0 时，cos；当 t0.(2)由条件知，sin

7、与 cos 异号是第二象限角或第四象限角变式探究将例 2(1)中改为第三象限角，则 sintan 的符号如何？解是第三象限角，sin0，sintan0，sintan0.(2) 0，cos40.2344(234)sin3cos4tan0，那么角是( )A第一、二象限角 B第二、三象限角C第三、四象限角 D第一、四象限角答案 A解析由 costan0，得Error!Error!或Error!Error!所以是第一、二象限角3在ABC 中，若 sinAcosBtanC0，所以 cosB，tanC 中一定有一个小于 0，即B，C 中有一个钝角4填空：(填“”“ (4)52016长春外国

8、语学校期中已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点 P，求出 a，sin，cos，tan 的值(a，35)解由角的终边与单位圆相交，得 1，即a2(35)2a ，又角在第二象限，所以 a .4545sin ，cos ，tan .354534课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25 分钟满分：60 分一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)12016南昌市高一月考sin420( )A B3212C. D.1232答案 D解析 sin420sin(36060)sin60.3222016山东烟台二中检测已知点 P落在角的(sin34，cos34)终边上，且 0,2)

9、，则的值为( )A. B.434C. D.5474答案 D解析本题主要考查三角函数的定义由任意角的三角函数的定义，得 tan 1.sin0，cos0，sin4tan70，cos2014cos(146)0，且 sinxcosx0，那么角 x 是( )A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案 A解析 tanx0，x 在第一或第三象限若 x 在第一象限，则sinx0，cosx0.sinxcosx0.若 x 在第三象限，则 sinx0 矛盾故x 只能在第一象限二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)65sin902cos03sin27010cos180_.答案 0解析原式523

11、110.函数 y的值域为2，0,2|cosx|cosxtanx|tanx|三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知角的终边在直线xy0 上，求 sin，cos，tan3的值解解法一：设的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则Error!Error!Error!Error!或Error!Error!当 P 点坐标为，即的终边在第一象限时，(12，32)sin，cos ，tan；32123当 P 点坐标为，即的终边在第三象限时，(12，32)sin，cos ，tan.32123解法二：直线xy0，即 yx，33当角的终边在第一象限时，在的终边上取点(1，)，3则 sin，c

12、os ，tan；32123当角的终边在第三象限时，在的终边上取点(1，)，3则 sin，cos ，tan.3212310已知，且 lg (cos)有意义1|sin|1sin(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点是 M，且|OM|1(O 为坐标原点)，(35，m)求 m 的值及 sin 的值解 (1)由，可知 sin0，所以角是第四象限角(2)|OM|1，2m21，解得 m .(35)45又是第四象限角，故 m|M2P2|，|AT1|AT2|，|OM1|M2P2，AT1OM2，又sinM1P1，sinM2P2，tanAT1，234523tanAT2，cosOM1，cosOM

13、2，452345(1)sinsin；(2)tancos.2345三角函数线比较大小的注意点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向【跟踪训练 2】比较 sin1155与 sin(1654)的大小解 sin1155sin(336075)sin75，sin(1654)sin(5360146)sin146，在单位圆中，分别作出 75和 146的正弦线 M1P1，M2P2(如右图)M1P1M2P2，sin1155sin(1654)题型三利用三角函数线解不等式例 3

14、求下列函数的定义域：(1)y；2cosx1(2)ylg (34sin2x)解 (1)要使函数有意义，须使 2cosx10，cosx .12如右图，x(kZ)2k3，2k3(2)要使函数有意义，须使 34sin2x0，sin2xcos，则角的取值范围是( )3A. B.(3，2)(3，)C. D.(3，43)(3，23)错解档案因为 sincos，所以，即 tan.在单3sincos33位圆中画出满足 tan的三角函数线，可知选 A.3误区警示对不等式变形时，要注意应是同解变形，而由 sincos 得到不是同解变形3sincos3规范解答因为 sincos，且 00 时，3可得 tan，在单位圆中画出满足 tan的三角函数线，可知此33时 cos，此时3 .综上可得， sin，那么下列命题成立的是( )A

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