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1、第四章 时变电磁场,分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,分类分析求解电磁问题,静态电磁场,电磁波,按时间变化情况,第3章,第4、5、6、7、8章,分类分析时变电磁场问题,第4章,电磁波的 典型代表,电磁波的 传输,共性问题,个性问题,电磁波的 辐射,第5、6章,第7章,第8章,均匀平面波,波导,天线,面对的问题？ 分析方法？ 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？,时变电场和磁场满足的方程波动方程时变电磁场的辅助函数标量电位和矢量磁位时变电磁场的能量守恒定律正弦规律变化的时变场时谐电磁场,本章主要内容：,第四章 时变电磁场,面对的
2、问题： 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 分析方法？ 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？,Maxwell方程组,单一媒质空间,4.1 波动方程,波动方程的建立（无源区）,无源空间中电荷和电流处处为零，麦克斯韦方程为,无源区电场波动方程,无源区磁场波动方程,波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量的空间分布规律。,电场波动方程的推导：,无源区电场波动方程,同理，可以推得无源区磁场波动方程为：,面对的问题 单一媒质环境！ 波动方程的求解！ 分析方法： 利用时变电磁场特性 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？,问题：在静电场中是通过何途径间接表现其特性的？在静态磁场中呢？在时变电磁场中能
3、否采用相同途径？,4.2 电磁场的位函数,时变电磁场为统一整体,位函数同时包括标量位和矢量位,矢量位和标量位的引入,令： ，可得,故：,动态位函数的方程,不利点： 磁矢位与电位函数不能分离！,推导,洛仑兹规范条件,库仑规范：,（静态场）,必须引入规范条件的原因：未规定 的散度。,洛伦兹规范条件,对时变场问题：,引入洛伦兹规范条件，电位方程为达朗贝尔方程,磁矢位与电位函数分离 磁矢位只依赖于电流 电位函数只依赖于电荷,电磁场的波动方程,位函数方程,结论： 无源区两种方法一样简单 有源区位函数方程更简单,面对的问题！ 分析方法： 求解区无源，用场的波动方程 求解区有源，用位函数方程 关联的一般性物
4、理问题？ 典型问题的应用？,面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题： 能量？ 典型问题的应用？,4.3 电磁能量守恒定律,讨论内容,坡印廷定理,电磁能量及守恒关系,坡印廷矢量,进入体积V的能量体积V内增加的能量体积V内损耗的能量,电磁能量守恒关系,问题：数学表示？,电磁场能量分布描述,电磁场的能量密度：单位体积中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和,电场能量密度：,磁场能量密度：,电磁场能量密度：,体积V内总能量：,启示：围绕体积内储能随时间的变化来描述能量关系,能量守恒关系的数学描述坡应廷定理,积分形式（瞬时功率关系） ：,微分形式（瞬时功率密度关系）：,体积V 内增加的电磁功率,
5、体积V内损耗的电磁功率,流入体积V 的电磁功率 （新物理量）,推导,坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。,坡应廷矢量,定义：,瞬时坡印廷矢量,物理意义：,大小：通过垂直于能量传输方向单位面积的电磁功率(功率流密度）方向：电磁能量传输方向,描述时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性,平均坡应廷矢量,对某些时变场，用周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。,平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。,注： 与时间t无关。,面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题： 坡印廷定理 坡印廷矢量
6、典型问题的应用？,面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题,4. 5 时谐电磁场,复矢量的麦克斯韦方程,时谐电磁场的复数表示,复电容率和复磁导率,时谐场的位函数,亥姆霍兹方程,平均能流密度矢量,时谐电磁场的概念,物理量随时间按正弦规律变化的问题，因此也叫正弦电磁场问题,时谐电磁场问题求解的有利因素,时-空可以分离求解！即： 可以独立分析物理量的 空间变化和时间变化,实现时空分离的方法：将场量用复数形式来表示,时谐场量的数学表示,时谐场量的实数表示（瞬时表示）,式中：A0为振幅、为角频率，为初始相位，与坐标有关。,由复变函数，知： ，则：,式中：,时谐场
7、量的复数表示,时谐电磁场场量的复数表示,在直角坐标系下，时谐电场瞬时形式为：,表示为复数形式：,由于所有场量表达式都有取实部运算，并都含有 项，为简化，以上两项作为缺省项，均不写。故电场的复数表达式为：,最简单情形：,时谐电磁场场量的复数表示（续）,同理,时谐电磁场场量的复数表示（续）,场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换,场量的复数形式：,场量的瞬时形式：,场量的复数形式转换为实数形式的方法：,例 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式,解：（1）由于,所以,例 已知电场强度复矢量,解：,其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量,例 已知电场强度为 其中Exm和 kz为实常数。写
8、出电场强度的瞬时矢量。,解：,麦克斯韦方程的复数表示复矢量Maxwell方程,复数表示中对时间的求导运算,麦克斯韦方程组微分形式,麦克斯韦方程的复数表示复矢量Maxwell方程(续),复介电常数,当介质的电导率为不为零的有限值，此时介质存在欧姆损耗。,式中：,等效复介电常数,等效复介电常数,表征欧姆损耗,介质损耗角,复介电常数（续）,等效复介电常数虚部与实部的比,称为损耗角正切。对导电媒质：,介质损耗角, 弱导电媒质和良绝缘体, 普通导电媒质, 良导体,导电媒质分类,媒质导电性的强弱与频率有关,例 海水电导率 ，相对介电常数 。求海水在 和 时的等效复介电常数。,解：,当 时,当 时,亥姆霍兹
9、方程,波动方程的复数形式即为亥姆霍兹方程。,令： ，则亥姆霍兹方程变为,瞬时形式,复数形式,有耗媒质中：,时谐场的位函数,洛伦兹规范条件变为：,达朗贝尔方程变为：,为对场量 取复数共轭运算。,时谐场的平均能流密度,对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：,式中： 、 为场量的复数表达式；,平均能流密度：,时谐场平均坡印廷矢量的证明,代入第一式，,得证！,利用 ，可由 计算 ，但不能直 接由 计算 ，也就是说,关于 和 的几点说明,具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。,在 中， 和 都是实数形式且是时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；在 中， 和 都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。,例 已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为,求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量,解：(1),(2),(3),另解：,例4.5.6 已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为,式中H0 、都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；,（2）平均坡印廷矢量。,解：（1） 和 的瞬时值为,（2）平均坡印廷矢量,所以瞬时坡印廷矢量,动态位方程的推导,返回,坡印廷定理微分形式,坡印廷定理的数学推导,
