《同济第六版《高等数学》教案word版-第09章 重积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济第六版《高等数学》教案word版-第09章 重积分（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学教案 9 重积分重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第九章第九章 重积分重积分教学目的：教学目的：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定 理。 2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、 引力等） 。教学重点：教学重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ； 2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点：教学难点： 1、利用极坐
2、标计算二重积分； 2、利用球坐标计算三重积分； 3、物理应用中的引力问题。9 1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、二重积分的概念一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 zf(x y) 这里 f(x y)0 且在 D 上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为 n 个细曲顶柱体 在每个 i中任
3、取一点( i i) 以 f ( i i)为高而底为 i的平顶柱体的体积为f ( i i) i (i1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 高等数学教案 9 重积分重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 iiinifV ),( 1可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 iiinifV ),(lim 10其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D 它在点(x y)处的面密度为(x y) 这里(x y)0 且在 D 上连续 现在要计算该薄片的质量 M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小
4、区域 1 2 n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 ( i i) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 iiiniM ),( 1将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 iiiniM ),(lim 10其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设 f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1 2 n 其中 i表示第 i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和 iiinif ),( 1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数高等数学教案 9 重积分重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公
5、共数学教研室f(x y)在闭区域 D 上的二重积分 记作 即dyxfD),(iiiniDfdyxf ),(lim),( 10f(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y 积分变量 D 积分区域 积分和 直角坐标系中的面积元素 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素 d 记作 dxdy 而把二重积分记作dxdyyxfD),(其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的存在性 当 f(x y)在闭区域 D
6、 上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数 f(x y)在闭区域 D 上连续 所以 f(x y)在 D 上的二重积分都是存在的 二重积分的几何意义 如果 f(x y)0 被积函数 f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果 f(x y)是负的 柱体就在 xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的 二 二重积分的性质性质 1 设 c1、c2为常数 则 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121性质 2 如果闭区域 D
7、 被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如 D 分为两个闭区域 D1与 D2 则 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),(性质 3 (为 D 的面积) DDdd1性质 4 如果在 D 上 f(x y)g(x y) 则有不等式 dyxgdyxfDD),(),(高等数学教案 9 重积分重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室特殊地有 dyxfdyxfDD| ),(|),(|性质 5 设 M、m 分别是 f(x y)在闭区域 D 上的最大值和最小值 为 D 的面积 则有 MdyxfmD),(性质 6(二重积分的中值定理)
8、设函数 f(x y)在闭区域 D 上连续 为 D 的面积 则在D 上至少存在一点( )使得 ),(),(fdyxfD9 2 二重积分的计算法二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分X型区域 D 1(x)y2(x) axb Y 型区域 D 1(x)y2(x) cyd 混合型区域 设 f(x y)0 D(x y)| 1(x)y2(x) axb 此时二重积分在几何上表示以曲面 zf(x y)为顶 以区域 D 为底的曲顶dyxfD),(柱体的体积对于 x0a b 曲顶柱体在 xx0的截面面积为以区间1(x0) 2(x0)为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以
9、这截面的面积为 )()(000201),()(xxdyyxfxA根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为 badxxAV)(dxdyyxfbaxx ),()()(21即 V dxdyyxfdyxfbaxxD ),(),()()(21可记为高等数学教案 9 重积分重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(类似地 如果区域 D 为 Y 型区域 D 1(x)y2(x) cyd 则有 dcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例 1 计算 其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围成的闭区域 dxyD解
10、 画出区域 D 方法一 可把 D 看成是 X型区域 1x2 1yx 于是 211xDdxxydydxy2132112 )(212dxxxdxyxx 8924212124xx注 积分还可以写成 211211xxDydyxdxxydydxdxy解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域 1y2 yx2 于是 212yDdyxydxdxy2132122)22(2dyyydyxyy8982142yy例 2 计算 其中 D 是由直线 y1、x1 及 yx 所围成的闭区域 dyxyD221解 画出区域 D 可把 D 看成是 X型区域 1x1 xy1 于是122112211xDdyyxydxdyxy113111
11、23 22) 1|(|31)1(31dxxdxyxx21) 1(32103dxx也可 D 看成是 Y型区域：1y1 1xR)处的单位质量的质点的引力解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知 Fx=Fy=0, 所求引力沿 z轴的分量为dvazyxazGFz2/ 32220)(RRzRyxazyxdxdydzazG22222/ 32220)()(2202/ 322200)()(zRRRazdddzazGRRdzaazRzaazG)211)(22202)(122220RRaazRdazaRG)3222(2230aRRRG22031 34 aMGaRG其中为球的质量 0334RM 高等数学教案 9 重积分重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力
