三道高考解析几何题的评析

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1、1三道高考解析几何题的评析三道高考解析几何题的评析解法解法反思反思摘要：文章对 2005 全国大纲 II 卷文 22 题理 21 题，2007 全国大纲 I 卷文 22 题理 21 题 及 2013 全国课标 II 卷理 20 题三道高考试题进行简单评析，并进行求解.同时对 2005 全国 大纲 II 卷文 22 题理 21 题，2007 全国大纲 I 卷文 22 题理 21 题进行了一般性探究. 关键词：椭圆; 直线;面积;最大值；最小值一、试题再现试题一（2005 全国大纲 II 卷文 22 理 21）四点都在椭圆上，NMQP,122 2yx为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且

2、.求FyPFFQMFFN0MFPF四边形面积的最大值和最小值.PMQN试题二（2007 全国大纲 I 卷文 22 理 21）已知椭圆的左右焦点分别为，12322 yx1F，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂2F1FDB,2FCA,BDAC 足为.P(I)设点的坐标为。证明；P),(00yx1232 02 0yx（）求四边形面积的最小值.ABCD 试题三（2013 全国课标 II 卷理 20）平面直角坐标系中，过椭圆xoy右焦点的直线交于两点，为的)0( 1:2222 baby axM03 yxMBA,PAB中点，且的斜率为.OP21（）求的方程；M（）为上的两点，若四边形的对角

3、线，求四边形面积的最大DC,MACBDABCD 值.二、试题评析 试题一以及试题二和试题三的第二小题，主要考查椭圆和直线的方程与性质，弦长公 式，不等式的性质等基本知识以及综合分析问题的能力；同时考查数形结合思想、分类讨 类思想以及运算能力.试题一以向量形式给出椭圆上两点与焦点三点共线及过两焦点的两直 线垂直，求两直线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积的最大值和最小值，结合考察 了向量内容；试题二直接给出过两焦点的直线互相垂直，求两直线与椭圆的四个交点为顶 点的四边形的面积的最小值.总体上两题变化不大.试题三与前两题有较大变化，互相垂直的 两直线中，一条是过椭圆一焦点的已知直线，而另一条是与

4、椭圆相交的任意直线，但这种2改变，其解法思路与试题一及试题二的并无多大变化. 三道试题都是求对角线互相垂直的四边形的面积.因为当四边形的对角线互相垂直时， 其面积可用两条对角线乘积的一半来计算，所以三道试题的解答的关键就是如何表示出两 条对角线的长度. 通过分析，可以按以下步骤求解：第一步 选参数.试题一和试题二中选两对角线中的一条的斜率为参数；试题三中两k对角线中的斜率已知，可选动直线在轴上的截距为参数.CDym第二步 求对角线长.利用“设而不求”及弦长公式等将两对角线的长求出或用，k表示出来.m第三步 求四边形面积.将所求四边形的面积表示为参数，的函数形式Skm，或然后求解.)(kfS )

5、(mfS 具体解题过程中，试题一和试题二还要对两对角线的斜率进行分类讨论，当两直线斜率都存在时，按以上步骤求解.由求函数的最值时，可运用均值不等式和不等式)(kfS 的性质求解，也可用导数知识解答；试题三要求出的取值范围，由求函数的m)(mfS 最值时用二次函数知识求解. 回顾三题，从题型上看，它们“同出一脉” ，是同一类型问题；三道题具有入口宽， 综合性强，解题思路清晰等特点；在解答过程中蕴含着分类讨论思想（试题一、二） ，数形 结合思想及函数不等式思想;同时运用参数法等数学方法，是不可多得的好题.正因为如此， 试题在 2005 年全国大纲 II 卷中考查后，时隔一年，再次考查；经过多年，在

6、 2013 年的课 标全国卷中，作适当改变后又一次出现. 三、 试题解答试题一解答：由与共线和与共线知，弦是焦点弦.因PFFQMFFNMNPQ,，于是：) 1 , 0(F当直线的斜率存在且不为零时，设.将代入消去PQ1: kxyPQ1 kxy122 2yx，得：.y012)2(22xxk设，则：.),(),(2211yxQyxP22122121,22 kxxkkxx所以 22 22 2) 1(4)22()1 (kkkkPQ.222)1 (22 kk 3又，所以.0MFPF2221)1 (22 kkMN所以四边形面积ACBDMNPQS21222)1 (22 21 kk 2221)1 (22 kk

7、 （当且仅当时，4242252)21 (4 kkkk 5222)522(22 22 2 kkkk52222 2 2 kk91612k等号成立）.即.2916 S当直线的斜率为零时，此时，PQ22PQ2MN所以四边形面积 ;ACBDMNPQS21222221当直线的斜率不存在时，PQ2PQ22MN所以四边形面积 .ACBDMNPQS21222221综上述四边形面积的最小值是，最大值是.ACBD9162试题二解答：（）证明：因为，所以。又，垂123c221FFBDAC 足为，所以在以为直径的圆上，所以，所以PP21FF12 02 0 yx. 122232 02 02 02 0yxyx（） 当直线的

8、斜率存在且不为零时，设.将 代入BD) 1(:xkyBD) 1( xky消去，得：12322 yxy.0636)32(2222kxkxk设，则：.),(),(2211yxDyxB222122213263,326 kkxxkkxx所以 22 2 22 2 32)63(4)326()1 (kk kkkBD.2232)1 (34 kk 4又，所以.BDAC 2223)1 (34 kkAC所以四边形面积ABCDACBDS212232)1 (34 21 kk 2223)1 (34 kk （当且仅当时，42426136)21 (24 kkkk 13664)1366(42 22 2 kkkk 2596136

9、644 2 2 kk12k等号成立）.当直线的斜率为零时，此时，BD32BD334AC所以四边形面积 ;ABCDACBDS2143343221当直线的斜率不存在时，PQ334BD32AC所以四边形面积 .ABCDACBDS2143233421综上述四边形面积的最小值是.ABCD2596试题二解答：（）：设，则： ),(),(2211yxByxA122 1 22 1by ax122 2 22 2by ax由-得：，0)(1)(12121221212yyyybxxxxa所以，0)()(21212 21212yyyyaxxxxb所以0)()(2212121212bxxxxyyyya .又由题知，.所

10、以.12121 xxyy)2,2(2121yyxxP 212121 xxyy所以.0222 ba5又直线过点，所以，即.03 yx)0 ,(cF3c322ba所以.3, 622ba所以.136:22 yxM（）由得：.将代入消去03 yx3xy3xy136:22 yxM，得：y.03432xx则：，0,3342121xxxx所以.36404)334() 1(1 22AB设.将代入消去，得：mxyCD:mxy136:22 yxMy.0624322mmxx设，则：.),(),(4433yxByxA362,3424343mxxmxx所以 3)62(4)34()11 (2 22 2mmCD. 3942

11、m又因，ABCD 所以四边形面积 .ACBDCDABS2122 996839436421mm由得：，所以当时 有最大值0)62(34)4(22mm33m0mS.3686即四边形的面积的最大值为.ACBD368四、 一般性探究对试题一、试题二进一步探究，有以下一般性结论：平面直角坐标系中，过椭圆左焦点和右焦点xoy)0( 1:2222 baby axM1F的直线分别交椭圆于两点和两点，且.则四边形面积的2FMBA,DC,CDAB ACBD取值范围是. 2 22242 2 ,)(8bbaba证明 当直线的斜率存在且不为零时，设.将 代入AB)(:cxkyAB)(cxky消去，得：)0( 12222

12、 baby axy.02)(22222222222bakcaxckaxkab设，则：.),(),(2211yxByxA22222222212222221,2 kabbakcaxxkabckaxx所以 22222222 2 22222 2)(4)2()1 (kabbakca kabckakAB.22222)1 (2 kabkab 当直线的斜率存在且不为零时，设.将 代入CD)(:1cxkyCD)(1cxky消去，得：)0( 12222 baby axy.02)(222 1222 1222 122bakcaxckaxkab设，则：.),(),(4433yxByxA2 122222 122432 1

13、222 1243,2 kabbakcaxxkabckaxx所以 2 122222 122 2 2 1222 12 2 1)(4)2()1 (kabbakca kabckakCD.2 1222 12)1 (2 kabkab 7又因，所以,所以.CDAB kk1122222)1 (2 kbakabCD所以四边形面积 ACBDCDABS212222222222)1 (2)1 (221kbakabkabkab422244224242)()21 (2 kbakbabakkba )(4)(2)(244222 2224244244222 222 2bakbakbabababbakbakbab )(4)(22

14、44222 22242442 2bakbakbabababb （当且仅当时，等号成立）.22242442 2 )(4)(22babababb22242)(8 baba 12k当直线的斜率为零时，此时，ABaAB2abCD22所以四边形面积 ;ACBDCDABS2122 22221baba当直线的斜率不存在时，ABabAB22aCD2所以四边形面积 .ACBDCDABS2122 22221baab所以四边形面积的取值范围是.ACBD 2 22242 2 ,)(8bbaba上述结论，对于， 经过同一焦点时也一样；同时 在椭圆ABCD中同样成立.)0( 1:2222 baay bxM五、 试题反思 通过对三道试题的评析及解法探讨，有以下几点值得思考： 首先，在教学过程要注重培养学生综合运用知识解决问题的能力；要加强学生运算、转 化能力的强化训练；要注意解析几何问题的求解中，分类讨论思想，数形结合思想，函数不8等式思想，参数法等数学思想方法的渗透。其次,在备考过程中,要重视历年高考试题的研究, 特别是对一些优秀试题,要潜心研究,不但要探讨其解法，而且要尝试对其进行改编、整合， 并及时将信息反馈给学生. 参考文献 1教育部考试中心.2007 年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（文科）M