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1、1离散数学离散数学 11 春图论部分综合练习辅导春图论部分综合练习辅导大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第 二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练 习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法教 学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最 短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树 及其应用等 本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算
2、题、证明题这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习下面是本学期第 4，5 次形考作业中的部分题目一、单项选择题一、单项选择题单项选择题主要是第 4 次形考作业的部分题目 第 4 次作业同样也是由 10 个单项选择题组成，每小题 10 分，满分 100 分在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成 绩，希望大家要多练几次，争取好成绩需要提醒大家的是每次练习的作业题 目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目1设图 G，vV，则下列结论成立的是 ( ) Adeg(v)=2E B deg(v)=E C DEvVv2)deg( EvVv )d
3、eg(该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况复习握手定理： 定理 3.1.1 设 G 是一个图，其结点集合为 V，边集合为 E，则 VvEv|2)deg(也就是说，无向图 G 的结点的度数之和结点的度数之和等于边数的两倍边数的两倍正确答案：C2设无向图 G 的邻接矩阵为，0101010010000011100100110则 G 的边数为( )A6 B5 C4 D3 主要是检查对邻接矩阵的概念理解是否到位大家要复习邻接矩阵的定义，2要记住当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的即当结点 vi与 vj相邻时，结点 vj与 vi也相邻，所以连接结点 vi与 vj的一条边在邻接矩阵的第 i 行第j
4、列处和第 j 行第 i 列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共有 10 个 1，故有102=5 条边正确答案：B3如右图所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, e)是割边 B(a, e)是边割集 C(a, e) ,(b, c)是边割集 D(d, e)是边割集 先复习割边、边割集的定义：定义定义 3.2.9 设无向图 G=为连通图，若有边集 E1E，使图 G 删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了 E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称 E1是 G 的一个边割集边割集若某个边构成一个边割集，则称该边为割边割边（或桥桥）因为删除答案 A 或 B 或 C 中的边后，得到的图是
5、还是连通图，因此答案A、B、C 是错误的正确答案：D4图 G 如由图所示，以下说法正确的是 ( ) Aa 是割点 Bb, c是点割集 Cb, d是点割集 Dc是点割集 主要是检查对点割集、割点的概念理解的情况 定义定义3.2.7 设无向图G=为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1 的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的 子图是连通图，则称V1是G的一个点割集点割集若某个结点构成一个点割集，则称 该结点为割点割点 从图二中删除结点 b, c，得到的子图是由不连通图，而只删除结点 b 或结点 c，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，b, c是点割集所以正确答
6、案：B5设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如下图所示，则下列结论成立的 是( )A（a）是强连通的 B（b）是强连通的abcdeabcd3C（c）是强连通的 D（d）是强连通的我们先复习强连通的概念：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图 G 是强连通的正确答案：A问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？请大家要复习“弱连通”的概念6设完全图 K 有 n 个结点(n2)，m 条边，当（ ）时，K 中存在欧拉nn 回路 Am 为奇数 Bn 为偶数 Cn 为奇数 Dm 为偶数我们先
7、复习完全图的概念：定义定义 3.1.6 简单图 G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图 为完全图完全图有 n 个结点的无向完全图记为 Kn 由定义可知，完全图 Kn中的任一结点 v 到其它结点都有一条边，共有 n-1条边，即每个结点的度数是 n-1，当 n 为奇数时，n-1 为偶数由定理 4.1.1 的推论推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度 数都是偶数所以，正确答案应该是 C7若 G 是一个汉密尔顿图，则 G 一定是( )A平面图 B对偶图 C欧拉图 D连通图我们先复习汉密尔顿图的概念： 定义定义4.2.14.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结
8、点一次且仅一次， 则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次， 则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图由定义可知，汉密尔顿图是连通图所以，正确答案应该是 D问：汉密尔顿图为什么不一定是欧拉图吗？8设 G 是连通平面图，有 v 个结点，e 条边，r 个面，则 r= ( )Aev2 Bve2 Cev2 Dev2本题主要检查大家是否掌握了欧拉定理欧拉定理定理定理4.3.24.3.2（欧拉定理）（欧拉定理） 设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为 r，则欧拉公式v-e+r =2成立由欧拉公式 v-e+r =2，得到 r = e- v+2 所以，答案
9、A 是正确的9无向简单图 G 是棵树，当且仅当( )4AG 连通且边数比结点数少 1 BG 连通且结点数比边数少 1 CG 的边数比结点数少 1 DG 中没有回路 可以运用教材中的定理 5.1.1，可以作出正确选择因为定理 5.1.1 中给出的图 T 为树的等价定义之一是图 T 连通且 e=v-1，其中 e 是边数，v 是结点数也就是说：无向简单图 G 是棵树，当且仅当 G 连通且边数比结点数少 1正确答案：A注：由上面的树的等价定义可知，结点数 v 与边数 e 满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树10已知一棵无向树 T 中有 8 个结点，4 度，3 度，2 度的分支点各一个，T 的树叶数
10、为（ ）A8 B5 C4 D3正确答案：B设无向树 T 的树叶数为 x，因为树叶是度数为 1 的结点 那么，由定理定理 3.1.1（握手定理） 设 G 是一个图，其结点集合为 V，边集 合为 E，则 VvEv|2)deg(得 4+3+2+x=2（8-1），即 x=5应选择 B下面的内容主要是第 5 次形考作业的部分题目 二、填空题二、填空题1已知图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点，3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，则 G 的边数是 也是检查大家对握手定理掌握的情况因为图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点，3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，即，根据握
11、手定理，边数有 Vvv3044332211)deg(152/30E应该填写：152设给定图 G (如右图所示)，则图 G 的点割集是本题还是检查大家对点割集、割点的概念理解的情 况 点割集、割点的定义前面已经复习了，从图G中删除结点f，得到的子图是 不连通图，即结点集f是点割集；同样，从图G中删除结点c，e，得到的子图 也是不连通图，那么结点集c, e也是点割集而删除其他结点集都没有满足点 割集、定义的集合，所以 应该填写：f、c, eabcdef53无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通且 由定理 4.1.1 的推论推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通连通的，并且它的结点
12、度结点度 数都是偶数数都是偶数 应该填写：结点度数都是偶数4设 G=是具有 n 个结点的简单图，若在 G 中每一对结点度数之和大于等于 ，则在 G 中存在一条汉密尔顿路定理4.2.2 设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度 数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路 应该填写：n15设图 G 是有 6 个结点的连通图，结点的总度数为 18，则可从 G 中删去条边后使之变成树（边后，可以确定图 G 的一棵生成树）由握手定理（定理 3.1.1）知道图 G 有 182=9 条边，又由定理 5.1.1 中给 出的图 T 为树的等价定义之一是“图 T 连通且 e=v-1”，可以知道：
13、应该填写：4 6设正则 5 叉树的树叶数为 17，则分支数为 i = 定理5.2.1 设有正则m叉树，其树叶数为t，分枝数为i，则(m-1)i=t-1其中m=5， t=17，由(5-1)i=17-1，得 i =4应该填写：4三、判断说明题三、判断说明题1如果图 G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图 G 存在一条欧拉回路 分析：先复习欧拉图的判别定理：定理 4.1.1 的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数解：解：不正确因为题中的图 G 没有“连通”的条件 2如下图所示的图 G 存在一条欧拉回路解：解：不正确因为图 G 中结点 b 和 c 的度数是
14、奇数 注：这是一个汉密尔顿图，但不是欧拉图，它可以作为单向选择题 7 解答之后 提出的问题的一个解答 3设 G 是一个有 7 个结点 16 条边的连通图，则 G 为平面图6分析：定理4.3.3 设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3， 则e3v-6 利用该定理判断本题 解解：不正确因为题中的连通简单平面图有 v=7 个结点，e=16 条边，那么 1637- 6=15，由定理 4.3.3 知道，图 G 不是平面图4设 G 是一个连通平面图，且有 6 个结点 11 条边，则 G 有 7 个面 分析：可以用平面图中的欧拉公式：v-e+r =2 来判断，其中 v 为结点数，e 为边数，r 为面数 解解：正确 因为连通平面图 G 有 v=6 个结点，e=11 条边，那么由欧拉公式计算得：r =2+ 11- 6 = 7 个面四、计算题四、计算题 1设 G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)， (v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试 (1) 给出 G 的图形表示；
