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1、1方法一阶电路的三要素法方法一阶电路的三要素法一阶电路是指含有一个储能元件的电路。一阶电路的瞬态过程是电路变量有初始值按指数规 律趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速度与时间常数有关。其瞬态过程的通式为f (t) = f () + f (0+) f ()te式中：f (0+) 瞬态变量的初始值； f () 瞬态变量的稳态值； 电路的时间常数。 可见，只要求出 f (0+)、f ()和 就可写出瞬态过程的表达式。 把 f (0+)、f ()和 称为三要素，这种方法称三要素法。 如 RC 串联电路的电容充电过程，uC(0+) = 0， uC() = E， = RC，则uC(t)= uC()+ uC(0
2、+) uC ()te 结果与理论推导的完全相同，关键是三要素的计算。 f (0+)由换路定律求得，f ()是电容相当于开路，电感相当于短路时求得的新稳态值。 = RC 或，R 为换路后从储能元件两端看进去的电阻。RL三个要素的意义：三个要素的意义：(1) 稳态值 f()：换路后，电路达到新稳态时的电压或电流值。当直流电路处于稳态时,电路的 处理方法是：电容开路，电感短路，用求稳态电路的方法求出所求量的新稳态值。 (2) 初始值 f(0+)：f(0+)是指任意元件上的电压或电流的初始值。 (3) 时间常数 ：用来表征暂态过程进行快慢的参数，单位为秒。它的意义在于， a. 越大，暂态过程的速度越慢
3、， 越小，暂态过程的速度则越快， b.理论上，当t为无穷大时，暂态过程结束；实际中，当t =(35) 时，即可认为暂态过 程结束。 时间常数的求法是：对于 RC 电路 =RC，对于RLRL电路 =L/R 。这里R、L、C都是等效值， 其中R是把换路后的电路变成无源电路，从电容（或电感）两端看进去的等效电阻（同戴维宁定 理求R0的方法） 。 c.同一电路中，各个电压、电流量的 相同，充、放电的速度是相同的。 电路分析中，外部输入电源通常称为激励；在激励下，各支路中产生的电压和电流称为响 应。不同的电路换路后，电路的响应是不同的时间函数。 （1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始储能
4、引起的响应，其实质是电容元件放电的过程。即：t eftf)0()( （2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给电容元件充电的过程。即： t eftf1)()(（3）全响应是指电源激励和初始储能共同作用的结果，其实质是零输入响应和零状态响应的叠 加。2)1)()0()(tt efeftf零输入响应 零状态响应 应用三要素法求出的暂态方程可满足在阶跃激励下所有一阶线性电路的响应情况，如从 RC 电路的暂态分析所得出的电压和电流的充、放电曲线如图 2-1，这四种情况都可以用三要素法直 接求出和描述，因此三要素法是即简单又准确的方法。图 2-1(a),(b),(c)
5、,(d)RL 电路完全可以在理解 RC 电路以后，对照 RC 电路来学习，不同的是时间常数，另RL外还应该注意教材【例 8-3】如图13-14 所示的电路中，已知E = 6 V，R1 = 10 k，R2 = 20 k，C = 30 F，开 关 S 闭合前，电容两端电压为零。求：S 闭合后电容元件上的电压比?解：uC(0+) = uC (0) = 0uC()=V22010610)(211RRERuC等效电阻 k320 201020102121 RRRRRs2 . 010301032063RC则通解为Ve22e )20(252 . 0ttCu【例 8-4】图 13-15 所示电路中，已知 E =
6、20 V，R1 = 2 k，R2 = 3 k，L = 4 mH。S 闭合前， 电路处于稳态，求开关闭合后，电路中的电流。图 8-4 例 8-3 图3解：(1) 确定初始值：mA43220)0(21RREiLiC(0+) = iL(0) = 4 mA(2) 确定稳态值mA10A10220)(3 1REiL(3) 确定时间常数 R = R1 = 2 ks2s1021021046 33 RL则通解为mA)610()104(1066105102ttLeei 典例题分析典例题分析1、如图 7.1 所示电路中，已知，将开关 S 闭合，求时的。VuC6)0(0t0t)(ti知识点：零输入响应知识点：零输入响
7、应 解：已知，则，换路后电路的响应为零输入响应。VuC6)0(VuC6)0(从电容两端看进去的等效电阻用外施电源法求解，如图 7.1.1 所示。iuReq其中图 8-5 例 8-4 图431102ui)102()(312uiiiiiuiiiu2000)102(106200010633 23得 1000iu所以 1000iuReqsCReq361025. 01025. 01000所以 VeeuttC310466mAeedtd dtduCittC3310410466)6(1025. 02、如图 7.2 所示电路中，时开关 S 闭合，求时的。0)0(Li0t0t)(tiL知识点：零状态响知识点：零状
8、态响应应 解：已知，则开关 S 闭合后电路的响应为零状态响应。0)0(Li首先求电感元件以外部分的戴维南等效电路。 端口开路时电路如图 7.2.1 所示。111201010iiiuOC而 Ai11015251所以ViuOC202015端口短路时电路如图 7.2.2 所示。11 11010iii01i所以AiSC35 1525故 123520SCOC eqiuRsRLeq33 105 . 012106 由图 7.2.3 可求得AiL35 1220)(所以 AeeittL)1 (35)1 (3520003、 电路如图 7.3 所示，已知 u(0)=10V，求u(t)，t0。 知识点：一阶电路全响应
9、知识点：一阶电路全响应 解： u(0+) = u(0) =10V 求电容两端左侧含源单口网络的戴维南等效电路，如图 7.3.1。 求开路电压 uoc： i1 =2Auoc = 4 i1+2 i1= 62 =12V外施激励电压源 u 求等效电阻 Ro ，如图 7.3.2。6u = (4+4) i1+2 i1 = 10 i1Ro = u / i1=10原电路等效为图 7.3.3 所示。= Ro C = 100.01= 0.1s u()=12V0,212)1)()0()(10 tVeeueututtt 4、电路如图 7.4 所示，电压源于 t = 0 时开始作用于电路，试用 “三要素法” 求 i1(
10、t)，t0。 知识点：知识点：“三要素法三要素法”求一阶电路全响应求一阶电路全响应 解： （1）求初始值 i1(0+)。 uc(0+) = 0V 画出 0+等效电路图，如图 7.4.1 所示。作电源等效变换，如图 7.4.2 所示。 i1 (0+) +0.5i1 (0+) +2 i1 (0+) =2 解得：i1 (0+) = 4/5A（2）求时间常数。 求电容两端左侧含源 单口网络的戴维南等效电路之等效电阻。如图 7.4.3 所示。外施激励电压源 u ，如图 7.4.3。(KVL)m1：i1+( i1 + i ) +2 i1 = 07(KVL)m2：u = i + (i1 + i ) +2 i
11、1= 2i + 3 i1解得 Ro = u/i= 5/4 = Ro C = 1s(3)求稳态值 i1 ()。画出等效电路图，如图 7.4.4 所示。2 i1 () + 2 i1 () =2i1 ()=1/2 A依据“三要素法三要素法”公式得：0,103 21)21 54(21)()0()()(1111tAeeeiiitittt 5、 电路如图 7.5 所示，求 iL ( t )（t0）,假定开关闭合前电路已处于稳定状态。 知识点：知识点：“三要素法三要素法”求一阶电路全响应求一阶电路全响应 解： （1）求初始值 iL(0+)。 iL(0+) = iL(0-) = 10 / 2 = 5mA（2）
12、求时间常数。 Req = (0.5 + 0.5) / 1 = 0.5 k = L / Req = 2ms(3)求稳态值 iL ()。iL () = 10 / 2 + 10 / 1 = 15mA依据“三要素法三要素法”公式得：图7.5k110V - +k5 . 0k5 . 010mAt=01HiL(t)80,1015)155(15)()0()()(500500tmAeeeiiititttLLLL6、 当 0 t 时，通过 3mH 电感的电流为，求电感的电压、功率和能量。S50)(50sin0 .10Ati (u 与 i 为关联参考方向) 知识点：电感元件伏安关系及贮能公式。知识点：电感元件伏安关
13、系及贮能公式。解：)(50cos0 .15VtdtdiLu)(100sin0 .75WtuiptLJtpdtW0)(100cos1 (75. 07、当 0 t 5时，1 个 20F 的电容两端的电压为，计算电荷量、功mS)(200sin0 .50Vtu 率和能量。(u 与 i 为关联参考方向) 知识点：电容元件伏安关系及贮能公式。知识点：电容元件伏安关系及贮能公式。解：)(200sin1000CtCuq)(200cos20. 0AtdtduCi)(400sin0 . 5Wtuip21)(400cos1(5.12ttCmJtpdtW8， 图图 3-2 所示电路，所示电路，t=0+时的时的 iL(
14、t)和和 uL(t)。解： t=0- 时电路处于稳态，电感视为短路iL(0-) =（8/(8+4)）6=4A il(0+) = iL(0-) =4A 换路后从电感两端看进去等效电阻： R=4+8=12 =L/R=0.2/12=1/60s iL()=0UC(0+)iC(0+)UR(0+)210电路响应为 iL(t) =4e-60t A Ul(t) =LdtiL(t)d =0.2(-60) 4e-60t = - 48e-60t V12. 图示电路，图示电路，t=0-时电路已达稳态，时电路已达稳态，t=0 时开关时开关 S 打开，求打开，求 t=0 时的电压时的电压 uc 和电和电 流流 i。 解：
15、t=0- 电路处于稳态 电容视为开路I1=(3/(3+4+2) 6=2AUc(0-) =2 I1=22=4V Uc(0+) = Uc(0-) 4V 换路后从电容两端看进去等效电阻 R=R3+R4 =2+1=3=RC=3(1/3)=1s 零输入响应 Uc（t）=4e-ti = ic =Cdtu(t)d=(1/3) (-1) 4e-t =-(4/3)4e-t13 如图所示电路，如图所示电路，t=0 时开关闭和，求时开关闭和，求 t=0 时的时的 iL(t)和和 uL(t)。 解：iL(0+) = iL(0-) =0 换路并稳定后，电感视为短路 iL() =3 从电感两端看进去等效电阻 R=6/5=L/R=0.35/6=0.25s 零状态响应为： iL(t) =
