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1、第 1 页 共 16 页 -22 x y O1 -1 -1 1 导数导数 一、考试要求；一、考试要求； 1、 了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的斜率等） ，掌握函数在某点处 的导数的定义和导数的几何意义，理解导数的概念。 2、 熟记导数的基本公式，掌握两个函数的和、差、积、商的导数的求导法则，了解复合 函数导数的求导法则，会求某些简单函数的导数； 3、 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件，会求一些实际问题的最大值和最小值。 二、高考试题回放：二、高考试题回放： 1、(广东卷)函数是减函数的区间为( ) 32 ( )31f xxx
2、 （）（）（）（）（）(2,)(,2)(,0)(0,2) 2.（全国卷）函数，已知在时取得极值，则=（ 93)( 23 xaxxxf)(xf3xa ） （A）2（B）3（C）4（D）5 3. （湖北卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数xxy8 3 4 的点的个数是（ ） A3B2C1D0 4(江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数( )yxfx( )fx 的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( C）( )f x( )yf x 5.(浙江)函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a( ) (A) (B) (C) (D)1 1 84 1 2 1 6. (重庆卷)曲
3、线 yx3在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x2 所围成的三角形的面积 为_8/3_。 7.（江苏卷）（江苏卷） （14）曲线在点（1,3）处的切线方程是 3 1yxx41yx 8. ( 全国卷 III)曲线在点（1，1）处的切线方程为 x+y-2=0 3 2yx x 9. （北京卷）过原点作曲线 yex的切线，则切点的坐标为 (1, e)； ，切线的斜率为 e O -22 x y 1 -1 -2 1 2 O x y -2 -22 1 -1 1 2 O -2 4 x y 1 -1 -2 1 2 O -2 2 x y -1 2 4 ABC D 第 2 页 共 16 页 三、高考试题分析三、
4、高考试题分析 1.(全国卷)设 a 为实数,函数 .)( 23 axxxxf ()求的极值.)(xf ()当 a 在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.xxfy与)( 解：(I)=321( )fx 2 xx 若=0，则=，=1( )fxx 1 3 x 当变化时，变化情况如下表：x( )fx( )f x x(，) 1 3 1 3 (，1) 1 3 1(1，+) ( )fx+00+ ( )f x A 极大值A极小值A 的极大值是，极小值是( )f x 15 () 327 fa(1)1fa (II)函数 322 ( )(1) (1)1f xxxxaxxa 由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小
5、的负数时有0 即(1，+)时，它的极大值也大于 0，因此曲线=( )f xaay 与轴仅有一个交点，它在(，)上。( )f xx 1 3 当(1，+)时，曲线=与轴仅有一个交点。 5 (,) 27 a y( )f xx 2、(全国卷)已知 a 0 ，函数 f(x) = （ -2ax ） 2 x x e (1) 当 X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在 -1，1上是单调函数，求 a 的取值范围. 解：（I）对函数求导数得( )f x x eaaxxxxf)222()( 2 令得+2(1)2=0 从而+2(1)2=0, 0)( x f 2 xa xa x e 2
6、xa xa 解得 11, 11 2 2 2 1 aaxaax 当 变化时，、的变化如下表x( )f x( )fx x ),( 1 x 1 x ),( 21 xx 2 x ),( 2 x )(x f + 0 0 + )(xf递增极大值递减 极小值 递增 在=处取得极大值，在=处取得极小值。( )f xx 1 xx 2 x 第 3 页 共 16 页 当0 时，0, 1036 时，V0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960 又 V(0)=0,V(24)=0, 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960 4、 ( 全国卷 III)已知函数， 2 47 2 x f x x
7、01x， （）求的单调区间和值域； f x （）设，函数，若对于任意，总存在1a 22 3201g xxa xax， 1 01x ， ，使得成立，求的取值范围 0 01x ， 01 g xf xa 解：对函数求导，得 f x 2 2 4167 2 xx fx x ， 2 2127 2 xx x 令解得 或 0fx ， 1 1 2 x 2 7 2 x 第 4 页 共 16 页 当变化时，、的变化情况如下表：x fx ， f x x0 1 0 2 ， 1 2 1 1 2 ， 1 fx ， 0 f x 7 2 A 4 A 3 所以，当时，是减函数；当时，是增函数； 1 0 2 x ， f x 1 1
8、 2 x ， f x 当时，的值域为01x， f x43， （）对函数求导，得 g x 22 3gxxa ， 因此，当时， 1a 01x， 2 3 10gxa ， 因此当时，为减函数，从而当时有01x， g x 01x， 10g xgg ， 又，即当时有 2 11 23gaa 02ga 1x 0， 2 1232g xaaa ， 任给，存在使得，则 1 1x 0， 1 43f x ， 0 01x ， 01 g xf x 2 123243aaa ， 即 2 1 2341 232 aa a （） （） 解式得 或1（）1a 5 3 a 解式得 2（） 3 2 a 又，1a 故：的取值范围为a 3 1
9、 2 a 四、例题分析：四、例题分析： 第 5 页 共 16 页 例题例题 1、已知函数 f(x)=x33x29xa, （I）求 f(x)的单调递减区间； （II）若 f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 解题分析解题分析：三次函数是高考导数部分依托的主要函数，本题主要考查导数法求函数的单调 区间和函数的最值问题，属于常规问题。 解：（I） f (x)3x26x9令 f (x)3， 所以函数 f(x)的单调递减区间为（，1） ， （3，） （II）因为 f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以 f(2)f(2)因为在（1，3）上 f (x)0，所
10、以 f(x)在1, 2上单调递增，又由 于 f(x)在2，1上单调递减，因此 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2，2上的最大值和 最小值，于是有 22a20，解得 a2 故 f(x)=x33x29x2，因此 f(1)13927， 即函数 f(x)在区间2，2上的最小值为7 解题回顾解题回顾：三次函数是高考导数部分依托的主要函数，对于三次函数性质的研究是近 年来导数考查的重点内容。 例题例题 2、已知函数的图象过点 P（0，2） ，且在点daxbxxxf 23 )( M（1，f（1） ）处的切线方程为.076 yx （）求函数的解析式；)(xfy （）求函数的单调区间.)(xfy 解：
11、（）由的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以)(xf, 2)( 23 cxbxxxf .23)( 2 cbxxxf 由在处的切线方程是，知)1(, 1(fM076 yx . 6 ) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即 . 3 , 0 , 32 . 1 21 , 623 cb cb cb cb cb 解得即 第 6 页 共 16 页 故所求的解析式是 . 2 33)( 23 xxxxf （）. 012, 0363 . 3 63)( 222 xxxxxxxf即令 解得 当. 21,21 21 xx; 0)(,21,21xfxx时或 当 . 0 )(,2121xfx时 故内是增函数，
12、在内是减函数，)21 ,(233)( 23 在xxxxf)21 ,21 ( 在内是增函数.),21 ( 例例 3、 已知向量在区间（1，1）上是增baxftxbxxa)(),1 (),1,( 2 若函数 函数，求 t 的取值范围. 解法 1：依定义,) 1()1 ()( 232 ttxxxxtxxxf .23)( 2 txxxf则 . 0 )() 1 , 1(,) 1 , 1()(xfxf上可设则在上是增函数在若 ,23)(,) 1 , 1(,230)( 22 xxxgxxtxf考虑函数上恒成立在区间 开口向上的抛物线，故要使在区间, 3 1 )(xxg的图象是对称轴为由于xxt23 2 （1
13、，1）上恒成立 . 5 ),1(tgt即 .) 1 , 1()(, 0)() 1 , 1()(,5上是增函数在即上满足在时而当xfxfxft .5tt的取值范围是故 解法 2：依定义,) 1()1 ()( 232 ttxxxxtxxxf . 0 )() 1 , 1(,) 1 , 1()( .23)( 2 xfxf txxxf 上可设则在上是增函数在若 的图象是开口向下的抛物线，)(x f 时且当且仅当05) 1(, 01) 1 (tftf . 5 .) 1 , 1()(, 0)() 1 , 1()( tt xfxfxf 的取值范围是故 上是增函数在即上满足在 第 7 页 共 16 页 例题例题 4、设，点 P（ ，0）是函数的图象的一个公0ttcbxxgaxxxf 23 )()(与 共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线. （）用 表示 a，b，c；t （）若函数在（1，3）上单调递减，求 的取值范围.)()(xgxfyt 解：（I）因为函数，的图象都过点（ ，0） ，所以，)(xf)(xgt0)(tf 即.因为所以.0 3 att, 0t 2 ta ., 0, 0)( 2 abccbttg所以即 又因为，在点（ ，0）处有相同的切线，所以)(xf)(xgt).()(tgtf 而.23,2)(,3)( 22 btatbxxgaxxf所以 将代入上式得 因此故， 2
