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1、当为静载时，积蓄在弹性体的应变能可由功能原理通过 求解外力做功求得，,一、 应变能,8-2 应变能与余能,其中： P为广义力，为广义力P所对应的广义位移,比能u :单位体积内所贮存的变形能,正应力引起的：,剪应力引起的：,（8-2-2a),1、受拉压杆的弹性变形能（线弹性）,（8-2-1）,弹性变形能为,2、受扭圆轴的弹性变形能（线弹性）,代入得,（8-2-3),3、杆在纯弯曲情况下的弹性变形能（线弹性）,（8-2-4）,弹性变形能为,由,得,又,4、杆在横力弯曲情况下的弹性变形能（线弹性）,（8-2-4）,弹性变形能为,在一般的细长梁中,剪力引起的弹性变形能远小于弯矩所引起的弹性变形能,剪力
2、引起的弹性变形能可忽略不计。,解：法 1 运用扭转变形能公式,例 8-1 在线弹性 范围内工作的杆， 已知： m、G、l、d 。求：在加载过程中所积蓄的应变能 U。,法 2 由比能求应变能,解：法 1 运用功能原理求应变能,挠曲线方程,例8-2 已知：图示抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载 q作用。求：应变能,外力做功,应变能,法 2 运用弯曲变形能公式,例 8-3 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l,横截面面积为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的应变能。,解：P与 的关系,由A点平衡得,相比为高阶微量可略去不计,与,得,得,代入得,二、 余能,1、基本公式,2、与应变能
3、的关系,即,二、线弹性材料的几何线性问题,B,D,例8-4 已知两杆的长度均为 l、横截面面积均为A、材料 单轴拉伸时的 曲线如图所示。 求：荷载 P1作用下的余能 Uc,B,D,1,P,解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。,由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此,B,D,1,P,补充题1:拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EI，受到P1，P2两个力作用。,(1) 若先在B截面加P1 ，然后在C截面加P2；,(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。,分别计算两种加力方法拉杆的应变能。,(1) 先在B截面加P1，然后在C截面加P2, 在B截面加P1， B截面的位移为,外力作功为, 再在C上加P2,C截面的位移为,P2 作功为, 在加P2 后，B截面又有位移,在加P2过程中P1作功,所以应变能为,(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。, 在C截面加P2 后， P2 作功, 在B截面加P1后， P1作功, 加 P1引起C截面的位移,在加P1 过程中P2作功,说明,(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区 别。,(2) 应变能U只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。,
