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1、1,作业 P25 8,2,(9)因为,，而,所以,作业 P26 8,3,例8,作业 P19 8,用洛必达法则求下列极限,4,复习,1. 可导函数单调性判别方法及步骤,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别方法及步骤,拐点, 连续曲线上凹凸的分界点,第三章第四节,5,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第三章,6,则称 为 的极大值点 ,设函数 在 的邻域内有定义，如果,一、函数的极值及其求法,定义:,(1),称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,第
2、二章第五节,对去心邻域内任一,7,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.（P155定理一下面）,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,第二章第五节,定理（极值的必要条件）可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。,8,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,第二章第五节,9,例1. 求函数,的极值 .,解:,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,第二章第五节,10,定理2 (极值第二判别法),二阶导数
3、, 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,第二章第五节,11,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,第二章第五节,12,定理3 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .,证:,利用 在 点的泰勒公式 ,可得,第二章第五节,13,例如 , 例2中,极值的判别法( 定
4、理1 定理3 ) 都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理1, 定理3 的条件.,第二章第五节,14,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,第二章第五节,15,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 可根据实际意义判别求出的可疑点是否,为最大 值点或最小值点 .,(小),第二章第五节,16,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值
5、和最小值 .,解:,故函数在,取最小值 0 ;,17,因此也可通过,例3. 求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,第二章第五节,18,例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,Km ,第二章第五节,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从B 运到工,厂C 的运费最省,问D点应如何取?,公路,价之比为3:5 ,( k 为某一常数 ),解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,从而为最小
6、点 ,( k 为某常数 ),19,解,由于最小周长一定存在，,例. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。,习题3-5 10 作业纸P32 22,20,就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费,一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为,1000元时，公寓会全部租出去.,当月租金每增加50元时，,100元的维修费.试问房租定为多少时可获得最大收入？,作业 P32 23,解：,设每套房月租为x元，,则租不出去的房子套数为,租出去的套数为,租出的每套房子获利,元.,故总利润为,21,令,得驻点,由,知,为极大值点.,即当每套房月租定在1800元时，可获得最大收入.,又驻点唯一，,这极大值点
7、就是最大值点.,于是有,22,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一判别法,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二判别法,为极大值,为极小值,(4)第三判别法（判别法的推广 ）,第二章第五节,(5)求极值的步骤,23,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,2. 连续函数的最值,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性 .,第二章第五节,24,2. 设,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,提示: 利用极限的保号性 .,第二章第五节,25,3. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,第二章第五节,26,试问,为何值时,还是极小.,作业纸P31 20,求出该极值,并指出它是极大,第二章第五节,解:,由题意应有,又,即,27,第二章第五节,作业：P29-32 周四交作业纸P29-30,28,试求,解:,补充.,故所求最大值为,第二章第五节,
