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1、大一上学期高数期末考试卷大一上学期高数期末考试卷一、一、单项选择题单项选择题 (本大题有本大题有 4 小题小题, 每小题每小题 4 分分, 共共 16 分分)1.)(0),sin(cos)( xxxxxf.（A）(0)2f （B）(0)1f （C）(0)0f （D）( )f x不可导不可导.2.133)(11)(3 xxxxxx .（A）( )( )xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） ( )( )xx与是等价无穷小；是等价无穷小；（C）( )x是比是比( )x高阶的无穷小；高阶的无穷小； （D）( )x是比是比( )x高阶的高阶的 无穷小无穷小. 3
2、.若若( )()( ) 02xF xtx f t dt ，其中，其中( )f x在区间上在区间上( 1,1)二阶可导且二阶可导且 ( )0fx，则（，则（ ）.（A）函数）函数( )F x必在必在0x 处取得极大值；处取得极大值； （B）函数）函数( )F x必在必在0x 处取得极小值；处取得极小值； （C）函数）函数( )F x在在0x 处没有极值，但点处没有极值，但点(0,(0)F为曲线为曲线( )yF x的拐点；的拐点；（D）函数）函数( )F x在在0x 处没有极值，点处没有极值，点(0,(0)F也不是曲线也不是曲线( )yF x的拐的拐 点。点。4.)()( , )(2)( )(10
3、 xfdttfxxfxf （A）22x（B）2 22x （C）1x （D）2x . 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分）5. x xxsin20)31(lim.6.,)(cosxfxx xxxxfdcos)( .7.lim(coscoscos) 22221 nn nnnn .8. 21212211arcsindx xxx. 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 40 分）分）9.设函数设函数 ( )yy x由方程由方程sin()1xyexy 确定，求确定，求( )y x以及以
4、及(0)y.10.d)1(177 xxxx 11. 1 32)( 1020)(dxxf xxxxxexfx12.设函数设函数)(xf连续，连续，10( )()g xf xt dt ，且，且 0( )lim xf xAx，A为常数为常数. 求求( )g x并讨论并讨论( )g x在在 0x处的连续性处的连续性.13.求微分方程求微分方程2lnxyyxx 满足满足 1(1)9y 的解的解.四、四、 解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分） 14.已知上半平面内一曲线已知上半平面内一曲线)0()( xxyy，过点，过点( , )01，且曲线上任一点，且曲线上任一点 M xy(,)00处切线斜
5、率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、轴、y轴、直线轴、直线xx0所围成所围成 面积的面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 1010 分）分）15.过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线xyln 的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线xyln 及及 x 轴围轴围 成平面图形成平面图形 D. (1)求求 D 的面积的面积 A；(2) 求求 D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 2 小题，每小题小题，每小题 4 4
6、 分，共分，共 8 8 分）分）16.设函数设函数)(xf在在0,1上连续且单调递减，证明对任意的上连续且单调递减，证明对任意的 , 0 1q，100( )( )q f x d xqf x dx .17.设函数设函数)(xf在在 , 0上连续，且上连续，且0)(0 xdxf ，0cos)(0 dxxxf .证明：在证明：在 , 0内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点21, ，使使. 0)()(21 ff（提示：设（提示：设 x dxxfxF0)()( ） 解答解答一、一、单项选择题单项选择题(本大题有本大题有 4 小题小题, 每小题每小题 4 分分, 共共 16 分分) 1、D 2、A
7、 3、C 4、C二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分）5.6e. 6.cxx 2)cos(21.7. 2 . 8.3 . 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 40 分）分） 9.解：方程两边求导解：方程两边求导(1)cos()()0xyeyxyxyy cos()( )cos()xyxyeyxyy xexxy 0,0xy ，(0)1y 10. 解：解：767uxx dxdu 1(1)112()7(1)71ududuuuuu 1(ln| 2ln|1|)7uuc 7712ln|ln
8、|1|77xxC 11. 解：解：1012330( )2xf x dxxedxxx dx 01230()1(1)xxdexdx 00232cos(1sin )xxxeedx 3214e 12. 解：由解：由(0)0f ，知，知(0)0g 。 1 00( ) ( )()xxt uf u du g xf xt dtx(0)x 0 2( )( ) ( )(0)x xf xf u du g xxx 0 200( )( )A(0)limlim22xxxf u duf xgxx 0 200( )( ) lim( )lim22xxxxf xf u duAAg xAx ，( )g x在在 0x处连续。处连续。
9、13. 解：解：2lndyyxdxx 22 (ln)dxdxxxyeexdxC 211ln39xxxCx 1(1),09yC ，11ln39yxxx 四、四、 解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分）14. 解：由已知且解：由已知且02dxyyxy ， 将此方程关于将此方程关于x求导得求导得yyy 2特征方程：特征方程：022 rr解出特征根：解出特征根：. 2, 121 rr其通解为其通解为xxeCeCy2 21 代入初始条件代入初始条件yy( )( )001，得，得31,3221 CC故所求曲线方程为：故所求曲线方程为：xxeey2 31 32 五、解答题（本大题五、解答题（本大题
10、 10 分）分）15. 解：（解：（1）根据题意，先设切点为）根据题意，先设切点为)ln,(00xx，切线方程：，切线方程：)(1ln0 00xxxxy 由于切线过原点，解出由于切线过原点，解出ex 0，从而切线方程为：，从而切线方程为：xey1 则平面图形面积则平面图形面积 10121)(edyeyeAy（2）三角形绕直线）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为一周所得圆锥体体积记为 V1，则，则2 131eV 曲线曲线xyln 与与 x 轴及直线轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积一周所得旋转体体积 为为 V2 102 2)(
11、dyeeVy D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积)3125(62 21 eeVVV 六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分）分）16. 证明：证明：100( )( )q f x d xqf x dx100( )( )( )qqqf x d xqf x d xf x dx10(1)( )( )qqqf x d xqf x dx12120, ,1()()12(1) ()(1) ()0qqff qq fqq f 故有：故有：100( )( )q f x d xqf x dx证毕。证毕。 17.证：
12、构造辅助函数：证：构造辅助函数： xdttfxFx 0,)()(0。其满足在。其满足在, 0 上连续，在上连续，在 ), 0( 上可导。上可导。)()(xfxF ，且，且0)()0( FF由题设，有由题设，有 000 0)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf ，有有 00sin)(xdxxF ，由积分中值定理，存在，由积分中值定理，存在), 0( ，使，使0sin)( F即即 0)( F综上可知综上可知), 0(, 0)()()0( FFF.在区间在区间, , , 0 上分别应用罗尔上分别应用罗尔 定理，知存在定理，知存在 ), 0(1 和和),(2 ，使，使0)(1 F及及0)(2 F，即，即0)()(21 ff. 605 级高等数学试题 A-1一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）(1) 若5 )81ln(sinlim 0 xkxx ，则 k（ ）(2) 设当0x 时, 21axe 与cos1x 是等价无穷小, 则常数 a（ ）(3) dxxx3)cos(sin （ ）(4) )1000sin2sin1(sinlimnnnn n（ ）(5) )
