导数的应用复习课件

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1、1函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减如果 ，那么函数yf(x)在这个区间上是常数函数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.,2函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值 ，且f(a)0，而且

2、在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值,都小,f(x)0,f(x)0,(2)函数的极大值 若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值 ，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值， 和 统称为极值,f(x)0,都大,f(x)0,极大值,极小值,3函数的最值与导数 函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值,连续不断,4生活中的优化问题 解决优化问题的基本思想是：,答案：B,2设f(x)x(ax2b

3、xc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是 ( ) A(a，b) B(a，c) C(b，c) D(ab，c) 解析：f(x)3ax22bxc，由题意知1，1是方程3ax22bxc0的两根，11 ，b0故选A. 答案：A,3函数y3x26lnx的单调增区间为_，单调减区间为_ 答案：(1，) (0,1),4若函数f(x)xasinx在R上递增，则实数a的取值范围为_,解析：f(x)1acosx， 要使函数f(x)xasinx在R上递增，则1acosx0对任意实数x都成立 1cosx1， 当a0时aacosxa， a1，0a1； 当a0时适合； 当a0时aacosxa， a1

4、，1a0.综上，1a1. 答案：1,1,5已知函数f(x)x22lnx.求函数f(x)的单调区间和极值,由表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)，极小值是f(1)1，无极大值,【例1】 设函数f(x)x3ax29x1(a0)若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求： (1)a的值； (2)函数f(x)的单调区间,(2)由(1)知a3，因此f(x)x33x29x1， f(x)3x26x93(x3)(x1)， 令f(x)0，解得x11，x23. 当x(，1)时，f(x)0，故f(x)在(，1)上为增函数； 当x(1,3)时，f(x)0，,故f(x)在

5、(3，)上为增函数 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)，单调递减区间为(1,3),判断函数单调性时，先要明确函数的定义域，然后对函数求导，再解不等式f(x)0.f(x)0的解对应的区间就是函数的单调增区间；f(x)0的解对应的区间就是函数的单调减区间，这种方法只对可导函数适用,变式迁移 1 已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如右图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是下图中 ( ),解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当xg(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速率；当xx0时，f(x)g(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数

6、形结合，选D. 答案：D,【例2】 已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称 (1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间； (2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值,思路分析：(1)由f(x)过点(1，6)及g(x)图象关于y轴对称可求m，n.由f(x)0及f(x)0可求单调递增和递减区间(2)先求出函数yf(x)的极值点，再根据极值点是否在区间(a1，a1)内讨论,解：(1)由函数f(x)图象过点(1，6)，得mn3 由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn， 则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn

7、. 而g(x)图象关于y轴对称，,所以m3，代入得n0. 于是f(x)3x26x3x(x2) 由f(x)0得x2或x0， 故f(x)的单调递增区间是(，0)，(2，)； 由f(x)0得0x2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2),(2)由(1)得f(x)3x(x2)， 令f(x)0得x0或x2. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,由此可得： 当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值； 当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值； 当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值； 当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值 综上得：

8、当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值； 当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值； 当a1或a3时，f(x)无极值,变式迁移 2 设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点 (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并求相应极值,(2)x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解：(1)函数f(x)的定义域为(，)， 因为f(x)xex(exxex)x(1ex)， 由f(x)x(1ex)0得x0， 则f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，),不等式f(x)m(或m)恒成立的问题可以转化为求函数f(x)的最小(

9、大)值问题，f(x)m恒成立，即mf(x)min，f(x)m恒成立即f(x)maxm，方程的根的个数问题可转化为函数的零点问题.,变式迁移 3 设a0，函数f(x) . (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在区间a,2a上的最小值,【例4】 (2009湖北卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m640米时，需新建多少个桥

10、墩才能使y最小？,思路分析：对(1)，先设辅助未知数，再确定函数关系；对(2)，先利用导数求出最优解,本题主要考查应用导数解决实际问题考题的命制，将导数应用于工程的最优化问题的解决之中，可以说是一个很好的设计，不仅考查了学生对函数、导数等相关知识的掌握程度，还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力.,变式迁移 4 (2008广东高考)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用

11、平均建筑费用平 均购地费用，平均购地费用,因此当x15时，f(x)取最小值f(15)2000. 所以，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层,1用导数研究函数单调性时，求单调区间对区间的开闭没有很高的要求，提倡用开区间，但在解决已知单调区间求字母范围的问题中，对字母范围的要求很高，该开就开，该闭就闭一般情况下不管单调区间是开还是闭，字母均能取等号，只要此时函数不是常数函数即可,2.可导函数的极值 (1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值,3.函数的最值 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,