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1、1,5.3 不定积分的换元积分法,5.3.1 第一类换元法,5.3.2 第二类换元法,2,设所求的不定积分可以写成,如果 ， 和 都是连续函数，并 且容易求得 的一个原函数 ，,5.3.1 第一类换元法,3,利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1)的正确性,4,可知公式(4.3.1)成立利用公式(4.3.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法,实际上，由,，,5,在凑微分时，常用到下列微分式子，熟悉它们有助于求不定积分,6,7,练习:填空题,8,9,再将 代入，得,解 设 ，则 ，即 ,例1 求 ,所以,，,10,例2 求 ,解 被积函数可以写成 ，设 ，则 ，即 因此,11,
2、注意： 在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分例如：,12,例3 求,解,13,例4 求 ,解,用类似的方法还可以求得,14,例5 求 ,解 由于 ，所以,15,例6 求,解,16,解 因为 ，而 ,所以,例7 求 ,17,解法1,例8 求,18,解法2,注意：本题利用不同解法所得到的结果在形式上有所不同但不难验证，它们仅相差一个常数,19,解 因为 ，所以,例9 求 ,20,21,例10 求 ,解,(利用例9的结果),22,应用第一类换元法的常见的积分类型如下：,23,24,练习1,25,26,练习2,27,28,29,30,31,5.3.2 第二类换元法,如果不定
3、积分 不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量 ，并选择代换 ，其中 可导，且 连续，将不定积分 化为,32,这类求不定积分的方法，称为第二换元法,33,例11 求 ,解 设 ，则 ， ,应注意，在最后的结果中必须代入，返回到原积分变量 ,34,例12 求 ,35,由 ，所以 于是,36,利用本节例10的结果，得,例13 求 ,解 设 ，则 ， 所以,为了返回原积分变量，可由 作出辅助三角形,37,所以,，,其中 .,，,38,例14 求,解 设 ，则 ， 于是,39,40,第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换如下：,1.被积函数为 ，则令 ，其中 为 ， 的最小公倍数,2.被积函数为 ，则令,41,4.被积函数为 ，则令 ,3.被积函数为 ，则令 ,42,(1) .,(2) .,(3) ,本节一些例题的结果，可以当做公式使用将这些常用的积分公式列举如下：,43,(5) .,(6) ,(4) ,44,(9) ,(8) ,(7) ,45,练习2,
